Giải thích các bước giải:
$a)"\forall \ x \in \mathbb{R}, x^2-2x \ge 0"$
Mệnh đề sai, do $x=1 \in \mathbb{R}, 1^2-2.1=-1<0$
Mệnh đề phủ định: $"\exists \ x \in \mathbb{R}, x^2-2x < 0"$
$b)"\forall \ x \in \mathbb{N}, (x^2+x)\ \vdots \ 2"$
Mệnh đề đúng, do $x^2+x=x(x+1)$
Tích 2 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2
Mệnh đề phủ định: $"\exists \ x \in \mathbb{N}, (x^2+x)\ \not\vdots \ 2"$
$c)"\exists \ x \in \mathbb{N}, (n^2+1)\ \vdots \ 3"$
Mệnh đề sai
Xét 3 trường hợp:
$\circledast n$ chia hết cho $3: n=3k( k \in \mathbb{N})$
$n^2+1=9k^2+1 \ \not\vdots \ 3$
$\circledast n$ chia cho $3$ dư $1: n=3k+1( k \in \mathbb{N})$
$n^2+1=(3k+1)^2+1=9k^2+6k+2=3k(3k+2)+2 \ \not\vdots \ 3$
$\circledast n$ chia cho $3$ dư $2: n=3k+2( k \in \mathbb{N})$
$n^2+1=(3k+2)^2+1=9k^2+6k+5=3(3k^2+2k+1)+2 \ \not\vdots \ 3\\ \Rightarrow (n^2+1)\ \not\vdots \ 3 \ \forall \ n$
Mệnh đề phủ định: $"\forall \ x \in \mathbb{N}, (n^2+1)\ \not\vdots \ 3"$
$d)"\exists \ y \in \mathbb{Q}, 9y^2-3=0"$
Mệnh đề đúng, do $y=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \in \mathbb{Q}, 9y^2-3=0$
Mệnh đề phủ định: $"\forall \ y \in \mathbb{Q}, 9y^2-3 \ne 0"$
