Bài `4`:
a) Xét `ΔNAB` và `ΔNEM` có:
`NA = NE`(gt)
`hat N_1 = hat N_2`(`2` góc đối đỉnh)
`NB = NM`(`N` là trung điểm `BM`)
`⇒ ΔNAB = ΔNEM`(c. g. c) `(**)`
b) Từ `(**) ⇒ AB = ME`(`2` cạnh tương ứng)
Vì `BC = 2AB`(gt) `⇒ AB = (BC)/2 (1)`
Vì `M` là trung điểm của `BC`(gt) `⇒ MB= CM = (BC)/2 (2)`
Từ `(1)` và `(2) ⇒ AB = MB` mà `AB = ME`(cmt)
`⇒ MB = ME`
`⇒ ΔMEB` cân tại `M`.
c) Xét `ΔMAN` và `ΔBEN ` có:
`NA = NE`(gt)
`hat N_3 = hat N_4`(`2` góc đối đỉnh)
`NB = NM`(`N` là trung điểm `BM`)
`⇒ ΔMAN = ΔBEN`(c. g. c)
`⇒ hat A_1 = hat E_1`(`2` góc tương ứng) mà `2` góc này nằm ở vị trí số le trong
`⇒ AM` song song `BE`
d) Vì `N` là trung điểm của `BM`(gt)
`⇒ BN = 1/2. BM` mà `BM = 1/2. BC`(cmt)
`⇒ BN = 1/2. 1/2. BC = 1/4. BC`
Ta có: `BN + CN = BC`
`⇒ 1/4. BC + CN = BC`
`⇒ CN = BC - 1/4. BC = 3/4. BC`
Vì `CM = 1/2. BC`(cmt) `⇒ 2CM = BC`
Thay `2CM = BC` vào `CN = 3/4. BC`, ta được:
`CN = 3/4. 2CM`
`⇒ CN = 3/2. CM`
`⇒ CM = 2/3. CN` mà `CN` là đường trung tuyến `ΔAEC`
`⇒ M` là trọng tâm `ΔAEC`
