a, Gọi ước chung lớn nhất của 15n +1 và 30n + 1 là d, ta có:
\(\left\{\begin{matrix}
15n+1&\vdots d \\
30n + 1&\vdots d
\end{matrix}\right.\)
↔ \(\left\{\begin{matrix}
30n+2&\vdots d (1) \\
30n + 1&\vdots d (2)
\end{matrix}\right.\)
(1) - (2) => 30n + 2 - (30n + 1) \(\vdots\) d
=> 1 \(\vdots\) d
=> d = 1
=> Phân thức \(\frac{15n +1}{30n +1}\) tối giản
b, Gọi ƯCLN của n³ + 2n và n\(^{4}\) + 3n² + 1 là d
=> \(\left\{\begin{matrix}
n³+2n&\vdots d (*)\\
n^{4} + 3n² +1&\vdots d
\end{matrix}\right.\)
=> \(\left\{\begin{matrix}
n^{4}+2n²&\vdots d(3) \\
n^{4} + 3n² +1&\vdots d (4)
\end{matrix}\right.\)
(3) - (4) => n² + 1 \(\vdots\) d (**)
Lại có: Từ (*) ta có: n (n² + 2) \(\vdots\) d
=> n \(\vdots\) d hoặc n² + 2 \(\vdots\) d
TH1: n \(\vdots\) d, thay vào (**)
=> 1 \(\vdots\) d
=> d = 1
TH2: n² + 2 \(\vdots\) d
(**) => n² + 2 -1 \(\vdots\) d
=> 1 \(\vdots\) d
=> d = 1
Vậy d = 1
=> Phân thức \(\frac{n³ +2n}{n^{4}+3n² +1}\) tối giản
