Giải thích các bước giải:
a.Ta có $BC$ là đường kính của $(O)\to BF\perp CF, BE\perp CE$
$\to BF\perp AC, CE\perp AB$
Mà $BF\cap CE=H\to H$ là trực tâm $\Delta ABC$
$\to AH\perp BC$
$\to AD\perp BC$
Ta có:
$\widehat{HEB}=\widehat{HDB}=90^o\to HEBD$ nội tiếp
$\to \widehat{HED}=\widehat{HBD}=\widehat{FBC}=\widehat{FEC}$
$\to EH$ là phân giác $\widehat{FED}$
$\to \widehat{FOC}=2\widehat{FEC}=\widehat{FED}$
$\to ODEF$ nội tiếp
b.Ta có $\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^o$
$\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$
Gọi $G$ là trung điểm $AH$
$\to G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $AEHF$
Ta có:
$\widehat{GFA}=\widehat{GAF}=\widehat{HAF}=\widehat{HEF}=\widehat{FEC}=\widehat{FBC}=\widehat{FBO}=\widehat{OFB}$
$\to \widehat{GFO}=\widehat{GFB}+\widehat{BFO}=\widehat{GFB}+\widehat{GFA}=\widehat{AFH}=90^o$
$\to GF$ là tiếp tuyến của $(O)$
Tương tự $GE$ là tiếp tuyến của $(O)$
$\to$Tiếp tuyến tại $E, F$ của $(O)$ cắt nhau tại $1$ điểm trên $AH$
c.Ta có $EFOD$ nội tiếp
$\to \widehat{KED}=\widehat{KOF},\widehat{KDE}=\widehat{KFO}$
$\to\Delta KED\sim\Delta KOF(g.g)$
$\to \dfrac{KE}{KO}=\dfrac{KD}{KF}$
$\to KE.KF=KD.KO$
Tương tự $BCEF$ nội tiếp, $EF\cap BC=K$
$\to KE.KF=KB.KC$
$\to KD.KO=KB.KC$
$\to KD.KO=KB.(KD+DC)$
$\to KD.KO=KB.KD+KB.DC$
$\to KD.KO-KB.KD=KB.CD$
$\to KD(KO-KB)=KB.CD$
$\to KD.OB=KB.CD$
$\to KD.OC=(KD-BD).CD$
$\to KD.OC=KD.CD-DB.DC$
$\to DB.DC=DK.DC-DK.CO$
$\to DB.DC=DK(DC-CO)$
$\to DB.DC=DK.DO$
Ta có $\widehat{HDB}=\widehat{ADC}=90^o,\widehat{HBD}=90^o-\widehat{BHD}=90^o-\widehat{AHF}=\widehat{HAF}=\widehat{DAC}$
$\to \Delta DBH\sim\Delta DAC(g.g)$
$\to \dfrac{DB}{DA}=\dfrac{DH}{DC}$
$\to DB.DC=DH.DA$
$\to DK.DO=DH.DA$
$\to \dfrac{DH}{DK}=\dfrac{DO}{DA}$
Mà $\widehat{ADK}=\widehat{HDO}(=90^o)$
$\to \Delta ADK\sim\Delta ODH(c.g.c)$
$\to \widehat{HOD}=\widehat{KAD}$
$\to OH\perp AK$
