Sửa đề $BH;CK$ là 2 đường cao (bỏ cắt nhau tại $H)$
______
`a)` $BH;CK$ là hai đường cao của $∆ABC$
`=>BH`$\perp AC$ tại $H$
`=>\hat{BHC}=90°`
$\\$
`\qquad CK`$\perp AB$ tại $K$
`=>\hat{BKC}=90°`
`=>\hat{BHC}=\hat{BKC}=90°`
`=>`Tứ giác $BKHC$ có hai đỉnh kề nhau $H;K$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông
`=>BKHC` nội tiếp
`=>\hat{IKB}=\hat{ICH}` (góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)
$\\$
Xét $∆IKB$ và $∆ICH$ có:
`\qquad \hat{I}` chung
`\qquad \hat{IKB}=\hat{ICH}` (c/m trên)
`=>∆IKB∽∆ICH` (g-g)
`=>{IK}/{IC}={IB}/{IH}`
`=>IK.IH=IB.IC` $(1)$
$\\$
Xét $∆IMB$ và $∆ICM$ có:
`\qquad \hat{I}` chung
`\qquad \hat{IMB}=\hat{ICM}` (cùng chắn cung $BM$)
`=>∆IMB∽∆ICM` (g-g)
`=>{IM}/{IC}={IB}/{IM}`
`=>IM^2=IB.IC` $(2)$
Từ `(1);(2)=>IM^2=IK.IH`
$\\$
`b)` Vì `IM^2=IK.IH` (câu b)
`=>{IK}/{IM}={IM}/{IH}`
Xét $∆IKM$ và $∆IMH$ có:
`\qquad \hat{I}` chung
`\qquad {IK}/{IM}={IM}/{IH}` (c/m trên)
`=>∆IKM∽∆IMH` (c-g-c)
$\\$
`c)` $EQ$//$IH$ (gt)
`=>\hat{KEQ}+\hat{EKH}=180°` $(3)$
`\qquad ` (hai góc trong cùng phía bù nhau)
$\\$
`\hat{KEQ}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{MCQ}` (góc nội tiếp chắn $\stackrel\frown{MCQ}$)
`\hat{IMH}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{MEQ}` (góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung)
Mà:
`\qquad 1/ 2 sđ\stackrel\frown{MCQ}+1/ 2 sđ\stackrel\frown{MEQ}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{MCQ}+sđ\stackrel\frown{MEQ})=1/ 2 .360°=180°`
`=>\hat{KEQ}+\hat{IMH}=180°` $(4)$
Từ `(3);(4)=>\hat{EKH}=\hat{IMH}`
$\\$
Vì `∆IKM∽∆IMH` (c/m trên)
`=>\hat{IKM}=\hat{IMH}`
$\\$
`=>\hat{EKH}=\hat{IKM}`
$\\$
Ta có:
`\qquad \hat{IKM}+\hat{HKM}=180°` (hai góc kề bù)
`=>\hat{EKH}+\hat{HKM}=180°`
`=>\hat{EKM}=180°`
`=>M;E;K` thẳng hàng
