Ta có: `∠CAM = 90^o + ∠BAC`
`∠BAN = 90^o + ∠BAC`
`=> ∠CAM = ∠BAN`
Xét `ΔACM` và `ΔABN` có:
AB = AM (vì `ΔABM` vuông cân tại A)
`∠CAM = ∠BAN`
AC = AN (vì `ΔACN` vuông cân tại A)
`=> ΔACM = ΔANB (c.g.c)`
`=> BN = CM` (2 cạnh tương ứng) (đpcm)
b) Gọi giao điểm của BN và CM là G
giao điểm của AB và CM là H
Xét `ΔAHM` vuông tại H có:
`∠HAM + ∠AMH = 90^o`
Mà `∠AHM = ∠BAG` (2 góc đối đỉnh)
`∠AMC = ∠ABN` (vì `ΔACM = ΔANB`)
`=> ∠BAG + ∠ABN = 90^o` hay `∠HBG + ∠BHG = 90^o`
`=> ΔBGH` vuông tại H
hay `CM ⊥ BN` tại G (đpcm)
c) Xét `ΔBCM` có: D là trung điểm của BM và E là trung điểm của BC
`=> DE` là đường trung bình của tam giác
`=> DE = 1/2CM` và DE // CM
Chứng minh tương tự ta có: `EF = 1/2BN` và EF // BN
Vì BN = CM nên DE = EF
`=> ΔDEF` cân tại E
Lại có: `CM ⊥ BN` (cmt)
`=> CM ⊥EF`
Mà CM // DE `=> EF ⊥ DE`
`=> ΔDEF` vuông cân tại E (đpcm)
