`a)` $AB;AC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$ của $(O)$
`=>AB=AC`
Mà `OB=OC`=bán kính của $(O)$
`=>OA` là trung trực $BC$
Vì $OA$ cắt $BC$ tại $H$
`=>OA`$\perp BC$ tại $H$
`=>\hat{BHO}=90°`
$\\$
Ta có: $OB=OD$= bán kính của $(O)$
`\qquad IB=ID`= bán kính của $(I)$
`=> OI` là trung trực của $BD$
Vì $K$ là giao điểm $OI$ và $BD$
`=>OI`$\perp BD$ tại $K$
`=>\hat{BKO}=90°`
`=>\hat{BHO}=\hat{BKO}=90°`
`=>BKHO` nội tiếp (vì có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh $BO$ dưới góc vuông)
`=>\hat{OKH}=\hat{OBH}` (cùng chắn cung $OH$)
Mà: `\hat{OBH}=\hat{BAO}` (cùng phụ `\hat{ABH}`)
`=>\hat{OKH}=\hat{BAO}=\hat{IAH}`
`=>HKIA` nội tiếp (vì có góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)
$\\$
`b)` $E$ là trung điểm của $MN$
`=>OE`$\perp MN$ tại $E$ (đường nối tâm vuông góc tại trung điểm dây cung)
`=>\hat{AEO}=90°`
Xét $∆AEO$ và $∆THO$ có:
`\qquad \hat{O}` chung
`\qquad \hat{AEO}=\hat{THO}=90°`
`=>∆AEO∽∆THO` (g-g)
`=>{OE}/{OH}={OA}/{OT}`
`=>OE.OT=OA.OH`
$\\$
Xét $∆ABO$ vuông tại $B$ có $BH\perp OA$
`=>OA.OH=OB^2` (hệ thức lượng)
`=>OA.OH=ON^2` ($ON=OB$ =bán kính của $(O)$)
$\\$
`=>OE.OT=ON^2`
`=>{ON}/{OE}={OT}/{ON}`
$\\$
Xét $∆ONT$ và $∆OEN$ có:
`\qquad \hat{O}` chung
`\qquad {ON}/{OE}={OT}/{ON}` (c/m trên)
`=>∆ONT∽∆OEN` (c-g-c)
`=>\hat{ONT}=\hat{OEN}=90°`
`=>TN`$\perp ON$
`=>TN` là tiếp tuyến tại $N$ của $(O)$
$\\$
Xét $∆ACM$ và $∆ANC$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad \hat{ACM}=\hat{ANC}` (cùng chắn cung $MC$)
`=>∆ACM∽∆ANC` (g-g)
`=>{AC}/{AN}={AM}/{AC}`
`=>AM.AN=AC^2`
$\\$
$∆ACO$ vuông tại $C$ có $CH\perp OA$
`=>AH.AO=AC^2` (hệ thức lượng)
$\\$
`=>AH.AO=AM.AN`
`=>{AH}/{AN}={AM}/{AO}`
$\\$
Xét $∆AHM$ và $∆ANO$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad {AH}/{AN}={AM}/{AO}`
`=>∆AHM∽∆ANO` (c-g-c)
`=>\hat{MHA}=\hat{ONA}=\hat{MNO}`
Vậy `\hat{MHA}=\hat{MNO}` $(1)$
$\\$
`c)` Xét tứ giác $MNOH$ có:
`\qquad \hat{MHA}=\hat{MNO}` (c/m trên)
`=>MNOH` nội tiếp
`=>\hat{OHN}=\hat{OMN}` (cùng chắn cung $ON$)
Mà `OM=ON`=bán kính của $(O)$
`=>∆OMN` cân tại $O$
`=>\hat{OMN}=\hat{MNO}`
$\\$
`=>\hat{OHN}=\hat{MNO}` $(2)$
Từ `(1);(2)=>\hat{MHA}=\hat{OHN}`
Mà `\hat{MHA}=\hat{OHL}` (hai góc đối đỉnh)
`=>\hat{OHN}=\hat{OHL}`
`=>HO` là phân giác `\hat{NHL}`
$\\$
`\qquad MHON` nội tiếp
`=>\hat{OMH}=\hat{ONH}` (cùng chắn cung $OH$)
Mà `OM=OL`=bán kính của $(O)$
`=>∆OML` cân tại $O$
`=>\hat{OLM}=\hat{OML}`
`=>\hat{OLH}=\hat{OMH}`
$\\$
`=>\hat{ONH}=\hat{OLH}` $(2)$
$\\$
Ta có:
`\hat{ONH}+\hat{OHN}+\hat{NOH}=180°`
`\hat{OLH}+\hat{OHL}+\hat{LOH}=180°`
`=>\hat{NOH}=\hat{LOH}`
$\\$
Xét $∆ONH$ và $∆OLH$ có:
`\hat{OHN}=\hat{OHL}`
$OH$ là cạnh chung
`\hat{NOH}=\hat{LOH}`
`=>∆ONH=∆OLH` (g-c-g)
`=>NH=LH`
`=>∆HNL` cân tại $H$
`=>HO` vừa là phân giác và đường cao của $∆HNL$
`=>HO`$\perp NL$
Mà $HO\perp BC$ (đã c/m)
`=>NL`//$BC$
