Đáp án + giải thích các bước giải:
5/ `a,b,c` là độ dài ba cạnh của tam giác `->` $\left\{\begin{matrix} a+b-c>0\\b+c-a>0\\ c+a-b>0 \end{matrix}\right.$
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu, có:
`1/(a+b-c)+1/(b+c-a)>=(1+1)^2/(a+b-c+b+c-a)=4/(2b)=2/b`
`1/(b+c-a)+1/(c+a-b)>=(1+1)^2/(b+c-a+c+a-b)=4/(2c)=2/c`
`1/(c+a-b)+1/(a+b-c)>=(1+1)^2/(c+a-b+a+b-c)=4/(2a)=2/a`
`->2(1/(a+b-c)+1/(b+c-a)+1/(c+a-b))>=2(1/a+1/b+1/c)`
`->1/(a+b-c)+1/(b+c-a)+1/(c+a-b)>=1/a+1/b+1/c`
Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c`
6/ `x/(x+2)+y/(y+2)+z/(z+8)=(x+2-2)/(x+2)+(y+2-2)/(y+2)+(z+8-8)/(z+8)=1-2/(x+2)+1-2/(y+2)+1-8/(z+8)=3-2(1/(x+2)+1/(y+2)+4/(z+8))`
Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu:
`1/(x+2)+1/(y+2)+4/(z+8)>=(1+1+2)^2/(x+2+y+2+z+8)=16/12=4/3`
`->2(1/(x+2)+1/(y+2)+4/(z+8))>=8/3`
`->-2(1/(x+2)+1/(y+2)+4/(z+8))<=-8/3`
`->3-2(1/(x+2)+1/(y+2)+4/(z+8))<=1/3`
`->đpcm`
Dấu bằng xảy ra khi `x=y=1;z=-2`
