`a)` Ta có:
$\quad AB$ là đường kính của `(O;R)`
`=>AB=2R`
`\qquad A\in (O;R)`
`=>OA=R`
$\\$
`\qquad AC` là đường kính của `(O';R')`
`=>AC=2R'`
`\qquad A\in (O';R')`
`=>O'A=R'`
`=>O O'=OA-O'A=R-R'`
`\qquad BC=AB-AC=2R-2R'=2(R-R')`
`=>BC=2O O'` (đpcm)
$\\$
`M` là tâm đường tròn đường kính $BC$
`=>MC={BC}/2={2O O'}/2=O O'`
`=>AM=AC+MC`
`=2R'+O O'=2 (R'+{O O'}/2)` $(1)$
`N` là tâm đường tròn đường kính `O O'`
`=>NO'={O O'}/2`
`=>AN=O'A+NO'=R'+{O O'}/2` $(2)$
Từ `(1);(2)=>AM=2AN` (đpcm)
$\\$
`b)` Vẽ $MD\perp AE$ tại $D$
Vì $AE$ là tiếp tuyến tại $E$ của $(N)$
`=>NE`$\perp AE$
`=>MD`//$NE$
$\\$
Xét $∆ADM$ có $MD$//$NE$
`=>{NE}/{MD}={AN}/{AM}={AN}/{2AN}=1/2` (hệ quả định lý Talet và `AM=2AN` câu a)
`=>NE=1/ 2MD` $(3)$
Mà `NE={O O'}/2` (bán kính của `(N)`)
`=>O O'=2NE`
`\qquad BC=2O O'=2 . 2NE=4NE`
`=>NE={BC}/4` $(4)$
Từ `(3);(4)=>{BC}/4={MD}/2`
`=>MD={2BC}/4={BC}/2`
`=>MD` là bán kính của `(M)`
Vì $MD\perp AE$ tại $D$
`=>AE` là tiếp tuyến tại $D$ của `(M)` (đpcm)
