a) Từ $B$ kẻ đường phân giác $BD \, (D\in AC)$
Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được:
$\dfrac{AD}{DC} = \dfrac{AB}{BC}$
$\Leftrightarrow \dfrac{AD}{AC - AD} = \dfrac{AB}{BC}$
$\Leftrightarrow AD.BC = AB.(AC - AD)$
$\Leftrightarrow AD = \dfrac{AB.AC}{AB + BC} = \dfrac{bc}{a + c}$
Ta có: $tan\dfrac{\widehat{B}}{2} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{\dfrac{bc}{a + c}}{c} = \dfrac{b}{a + c}$
b) Ta có:
$tan\alpha + cot\alpha = 3$
$\Leftrightarrow \dfrac{sin\alpha}{cos\alpha} + \dfrac{cos\alpha}{sin\alpha} = 3$
$\Leftrightarrow \dfrac{sin^2\alpha + cos^2\alpha}{sin\alpha.cos\alpha} = 3$
$\Leftrightarrow sin\alpha.cos\alpha = \dfrac{1}{3}$
