Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$a)$ Có `ΔABC` cân tại $A (gt)$
`⇒ AB= AC` $(t/c)$
`⇒ ABC= ACB`` $(t/c)$
Có `BM` là đường trung tuyến của $ΔABC (gt)$
`⇒ M` là $t/đ$ của cạnh `AC`
`⇒ AM= MC= (AC)/2`
Có `CN` là đường trung tuyến của $ΔABC (gt)$
`⇒ N` là $t/đ$ của cạnh `AB`
`⇒ AN= NB= (AB)/2`
Xét `ΔABC` có:
`AM= MC= (AC)/2 (cmt)`
`AN= NB= (AB)/2 (cmt)`
mà `AC= AB (cmt)`
`⇒ AM= MC= AN= NB`
Xét `ΔANC` và $ΔAMB$ có:
`AN= AM (cmt)`
`BAC` chung
`AC= AB (cmt)`
`⇒ ΔANC= ΔAMB (c- g- c)`
`⇒ NC= MB (2` cạnh $t/ứ)$
$b)$ Có `AN+ NB= AB`
`AM+ MC= AC`
mà `AN= AM (cmt)`
`AB= AC (cmt)`
`⇒ NB= MC`
Xét `ΔBGN` và $ΔCGM$ có:
`ABC= ACB (cmt)`
`NB= MC (cmt)`
`NGB= MGC (2` góc đối đỉnh)
`⇒ ΔBGN= ΔCGM (g- c- g)`
$c)$ Có `AN= AM (cmt)`
`⇒ ΔANM` cân tại $A (t/c)$
`⇒ ANG= AMG`
Xét `ΔANG`và $ΔAMG$ có:
`AN= AM (cmt)`
`ANG= AMG (cmt)`
`AG` cạnh chung
`⇒ ΔANG= ΔAMG (c- g- c)`
`⇒ NG= MG (2` cạnh $t/ứ)$
`⇒ G ∈` đường trung trực của `MN (1)`
Có `AN= AM (cmt)`
`⇒ A ∈` đường trung trực của `MN (2)`
Từ `(1)` và $(2)$
`⇒ AG` là đường trung trực của `MN`
$d)$ Có `ΔANM` cân tại $A (cmt)$
`⇒ ANM= AMN` $(t/c)$
Xét `ΔANM` có:
`ANM+ NAM+ AMN= 180^o (đ/lí` tổng $3$ góc)
`⇒ ANM+ AMN= 180^o- NAM`
mà `ANM= AMN (cmt)`
`⇒ ANM= (180^o- NAM)/2 (1)`
Xét `ΔABC` có:
`ABC+ BAC+ ACB= 180^o (đ/lí` tổng $3$ góc)
`⇒ ABC+ ACB= 180^o- BAC`
mà `ABC= ACB (cmt)`
`⇒ ABC= (180^o- BAC)/2 (2)`
Từ `(1)` và $(2)$
`⇒ ANM= ABC`
mà `2` góc nà ở vị trí đồng vị
`⇒ MN // BC (dhnb)`
