Đáp án:
`a)` `S=∅`
`b)` `S={37}`
`c)` `S={x\in RR|6\le x\le 11}`
Giải thích các bước giải:
`a)` `1/4 \sqrt{16x+32}+\sqrt{3x+6}-\sqrt{9x+18}=2-\sqrt{3}`
`<=>1/4 \sqrt{4^2 .(x+2)}+\sqrt{3(x+2)}-\sqrt{3^2 .(x+2)}=2-\sqrt{3}` `(1)`
`ĐK: x+2\ge 0<=>x\ge -2`
`(1)<=>1/ 4 . 4 \sqrt{x+2}+\sqrt{3}.\sqrt{x+2}-3\sqrt{x+2}=2-\sqrt{3}`
`<=>(1+\sqrt{3}-3)\sqrt{x+2}=2-\sqrt{3}`
`<=>-(2-\sqrt{3})\sqrt{x+2}=2-\sqrt{3}`
`<=>\sqrt{x+2}={2-\sqrt{3}}/{-(2-\sqrt{3})}=-1<0`
`=>` Phương trình vô nghiệm
`=>S=∅`
$\\$
`b)` `\sqrt{25x-25}-{15}/2 \sqrt{{x-1}/9}=6+3/2 \sqrt{x-1}`
`<=>\sqrt{5^2 . (x-1)}-{15}/2.\sqrt{1/{3^2} .(x-1)}=6+3/2 \sqrt{x-1}` $(2)$
`ĐK: x-1\ge 0<=>x\ge 1`
`(2)<=>5\sqrt{x-1}-{15}/2 . 1/ 3 .\sqrt{x-1}-3/2 \sqrt{x-1}=6`
`<=>(5-5/2-3/2)\sqrt{x-1}=6`
`<=>\sqrt{x-1}=6`
`<=>x-1=36`
`<=>x=37\ (thỏa \ đk)`
Vậy phương trình có tập nghiệm `S={37}`
$\\$
`c)` `\sqrt{x+2-4\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}}=1`
`<=>\sqrt{x-2-2.\sqrt{x-2}.2+2^2}+\sqrt{x-2-2.\sqrt{x-2}.3+3^2}=1`
`<=>\sqrt{(\sqrt{x-2}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-2}-3)^2}=1` $(3)$
`ĐK: x-2\ge 0<=>x\ge 0`
`(3)<=>|\sqrt{x-2}-2|+|\sqrt{x-2}-3|=1`
`<=>|\sqrt{x-2}-2|+|3-\sqrt{x-2}|=1`
Với mọi `x\ge 2` ta có:
`\qquad |\sqrt{x-2}-2|+|3-\sqrt{x-2}|\ge |\sqrt{x-2}-2+3-\sqrt{x-2}|=1`
`\qquad ` (Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối)
Dấu "=" xảy ra khi:
`\qquad (\sqrt{x-2}-2)(3-\sqrt{x-2})\ge 0`
`=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}\sqrt{x-2}-2\ge 0\\3-\sqrt{x-2}\ge 0\end{cases}\\\begin{cases}\sqrt{x-2}-2\le 0\\3-\sqrt{x-2}\le 0\end{cases}\end{array}\right.$
`<=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}\sqrt{x-2}\ge 2\\\sqrt{x-2}\le 3\end{cases}\\\begin{cases}\sqrt{x-2}\le 2\\\sqrt{x-2}\ge 3\end{cases}\end{array}\right.$
`<=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}x-2\ge 4\\x-2\le 9\end{cases}\\\begin{cases}x-2\le 4\\x-2\ge 9\end{cases}\end{array}\right.$
`<=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}x\ge 6\\x\le 11\end{cases}\\\begin{cases}x\le 6\\x\ge 11\end{cases}\ (loại)\end{array}\right.$
`=>6\le x\le 11`
Vậy phương trình có tập nghiệm là:
`\qquad S={x\in RR|6\le x\le 11}`
