- Nếu $p = 2$ thì $\ p^{2} + 2 = 6$ là hợp số (loại)
- Nếu $p = 3$ thì $\ p^{2} + 2 = 11$ là số nguyên tố và $\ p^{3} + 2 = 29$ là số nguyên tố (thỏa mãn)
- Nếu $p > 3$ mà $p$ là số nguyên tố ⇒ $p \not\vdots 3$
$\ ⇒ p$ có dạng $3k + 1$ hoặc $3k+2$ $\ (k ∈ N)$
+ Xét $\ p = 3k + 2$ thì:
$\ p^{2} + 2 = (3k + 2)^{2} + 2 = (3k)^{2} + 2.3k + 2^2 + 2$
$\ = 9k^{2} + 6k + 4 + 2 = 9k^{2} + 6k + 6$ $\vdots 3$ mà $\ p^{2} + 2 > 3$
⇒ $\ p^{2} + 2$ là hợp số (loại)
+ Xét $\ p = 3k+1$ thì:
$\ p^{2} + 2 = (3k + 1)^{2} + 2 = 9k^{2} + 6k + 1 + 2 = 9k^{2} + 6k + 3$ $\vdots 3$ mà $\ p^{2} + 2 > 3$
⇒ $\ p^{2} + 2$ là hợp số (loại)
Vậy nếu $p$ và $p^{2} + 2$ là số nguyên tố thì $p^{3} + 2$ cũng là số nguyên tố.
