Đáp án:$f\left( x \right) = 5{x^4} + 5{x^3} - 10{x^2} + x + 3$
Giải thích các bước giải:
Gọi thương của phép chia f(x) cho (x-1) và (x+2) lần lượt là A(x) và B(x)
Theo bài ra ta có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right).A\left( x \right) + 4\\
f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right).B\left( x \right) + 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( 1 \right) = \left( {1 - 1} \right).A\left( x \right) + 4\\
f\left( { - 2} \right) = \left( { - 2 + 2} \right).B\left( x \right) + 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( 1 \right) = 4\\
f\left( { - 2} \right) = 1
\end{array} \right.
\end{array}$
Gọi thương của phép chia f(x) cho (x-1)(x+2) là ax+b
(do số chia là bậc hai nên số dư chỉ có thể là bậc 1 hoặc 1 số)
Ta có:
$\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right).5{x^2} + {\rm{ax + b}}\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( 1 \right) = a.1 + b\\
f\left( { - 2} \right) = a\left( { - 2} \right) + b
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4 = a + b\\
- 2a + b = 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + b = 4\\
\left( {a + b} \right) - \left( { - 2a + b} \right) = 4 - 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 4 - a\\
3a = 3
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 3
\end{array} \right.\\
\Rightarrow f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right).5{x^2} + x + 3\\
\Rightarrow f\left( x \right) = 5{x^4} + 5{x^3} - 10{x^2} + x + 3
\end{array}$
