a) Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $ΔABC$ vuông tại $A$ ta được:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 100$
$\Rightarrow BC = 10\, cm$
Ta có:
$\sin\widehat{B} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$
$\Rightarrow \widehat{B} = \arcsin\dfrac45 \approx 53,13^o$
$\Rightarrow \widehat{C} = 90^o - \widehat{B} = 90^o - 53,13^0 = 36,87^o$
b) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được:
$\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$
$\Leftrightarrow \dfrac{BD}{BC - BD} = \dfrac{AB}{AC}$
$\Leftrightarrow BD.AC = AB(BC - BD)$
$\Leftrightarrow BD = \dfrac{AB.BC}{AC + AB}$
$\Leftrightarrow BD = \dfrac{6.10}{6+ 8} = \dfrac{30}{7}\, cm$
$\Rightarrow DC = BC - BD = 10 - \dfrac{30}{7} = \dfrac{40}{7}\, cm$
c) Xét tứ giác $AEDF$ có:
$\widehat{A} = \widehat{E} = \widehat{F} = 90^o$
$\Rightarrow AEDF$ là hình chữ nhật
Ta lại có: $AD$ là phân giác của $\widehat{A}\quad (gt)$
Do đó $AEDF$ là hình vuông
Mặt khác: $DE//AC\quad (\perp AB)$
Áp dụng định lý $Thales$ ta được:
$\dfrac{DE}{AC} = \dfrac{BD}{BC}$
$\Rightarrow DE = \dfrac{AC.BD}{BC} = \dfrac{8\cdot\dfrac{30}{7}}{10} = \dfrac{24}{7}\,cm$
Ta được:
$P_{AEDF} = 4.DE = \dfrac{96}{7}\, cm$
$S_{AEDF} = DE^2 = \dfrac{576}{49}\, cm^2$
