Đáp án:
a) $x=1$
b) ${{\min }_{S}}=2021\Leftrightarrow x=y=2$
Giải thích các bước giải:
a) $3{{x}^{2}}+2x+7=3\left( x+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+3}$
$\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+2\left( {{x}^{2}}+3 \right)=3\left( x+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+3}$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2{{b}^{2}}=3ab$(với $a=x+1$;$b=\sqrt{{{x}^{2}}+3}$)
$\Leftrightarrow \left( a-2b \right)\left( a-b \right)=0$
$\Leftrightarrow a=2b$ hoặc $a=b$
$\Leftrightarrow x+1=2\sqrt{{{x}^{2}}+3}$ hoặc $x+1=\sqrt{{{x}^{2}}+3}$
(Bạn tự giải tiếp)
Kết quả là $x=1$
b) $\sqrt{x-2}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-2}-x\sqrt{x}$
$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x} \right)}^{3}}-{{\left( \sqrt{y} \right)}^{3}}+\left( \sqrt{x-2}-\sqrt{y-2} \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}}+\sqrt{xy}+\sqrt{{{y}^{2}}} \right)+\dfrac{x-y}{\sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}}=0$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}}+\sqrt{xy}+\sqrt{{{y}^{2}}}+\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}} \right)=0$
$\Leftrightarrow x=y$ (vế kia luôn dương)
$S={{x}^{2}}+4xy-3{{y}^{2}}-8y+2029$
$S={{x}^{2}}+4{{x}^{2}}-3{{x}^{2}}-8x+2029$
$S=2{{x}^{2}}-8x+2029$
$S=2{{x}^{2}}-8x+8+2021$
$S=2{{\left( x-2 \right)}^{2}}+2021\ge 2021$
Dấu “=” xảy ra khi $x=y=2$
Vậy ${{\min }_{S}}=2021\Leftrightarrow x=y=2$
