Gợi ý:
a) +) CM: E là trung điểm của NP
+) Áp dụng t/c' đường trung tuyến trong tam giác vuông
=> $ME=$ $\frac{1}{2}NP$
hay: $ME=NE=PE$
+) CM: ΔEIM = ΔEIP
Cách 1: CM Δ EIM và Δ EIP vuông tại I rồi CM 2 Δ bằng nhau
Cách 2: CM 2 Δ bằng nhau mà không cần CM Δ EIM và Δ EIP vuông tại I
+) CM: ΔMEP cân:
Xét ΔMEP, ta có: $ME=NE=PE$ (CMT)
=> ΔMEP là Δ cân (DHNB)
b) +) CM: HEIM là hình chữ nhật.
- CM: EI //MN, HE//MP (Từ ⊥ đến //) => HEIM là hình bình hành (DHNB)
Mà: EHN = 90 ° (EH ⊥ MN tại H)
EIM = 90 ° (EI ⊥ MP tại I)
=> HEIM là HCN (DHNB)
=> EH = MI (cặp cạnh t/ứ)
+) CM: ΔNHE = ΔEIP
(Có nhiều cách để chứng minh, nhưng đây là một số cách đơn giản nhất)
Cách 1:
+CM Δ NEM cân tại E => NE = EM (cặp cạnh t/ứ)
+ CM Δ NHE = Δ EIM (phải CM hai tam giác vuông)
- EH = MI (CMT)
- NE = EM (CMT)
=> Δ NHE = Δ EIM (ch-cgv)
mà: ΔEIM = ΔEIP (CMA)
=>Δ NHE = Δ EIP (ĐPCM)
Cách 2: CM HE = IP, rồi CM Δ NHE = Δ EIP (phải CM hai tam giác vuông)
- EH = IP (CMT)
- NE = EP (E là trung điểm của NP)
=> Δ NHE = Δ EIP (ch-cgv)
Cách 3:
Gọi F là giao của HI và ME, rồi CM FE = FI (áp dụng t/c' HCN: Hai đường chéo trong hình chữ nhật cắt nhau tại trung điểm của mỗi nó)
=> ΔFEI cân tại F (DHNB)
=> FEI = FIE (hai góc t/ứ)
hay MEI = HIE
+ CM Δ IEH = Δ EIM (phải CM hai tam giác vuông)
- HE = MI
- MEI = HIE
- IE chung
=> Δ IEH = Δ EIM
Lại có: ΔEIM = ΔEIP (CMA)
=> ΔIHE = ΔEIP
+ CM HEPI là hình bình hành =>HE = IP (t/c' HBH)
+ CM Δ NHE = Δ EIP (phải CM hai tam giác vuông)
- EH = IP (CMT)
- NE = EP (E là trung điểm của NP)
=> Δ NHE = Δ EIP (ch-cgv)
