Giải thích các bước giải:
$A=\frac{\sqrt[]{x}+2}{\sqrt[]{x}+1}$
$B=\frac{2}{\sqrt[]{x}+1}+\frac{x+3}{x-1}$
Đk: $x≥0; x \neq 1$
$a,$ Cho $x=9$:
$⇒A=\frac{3+2}{3+1}=\frac{5}{4}$
$b,$
$B=\frac{2}{\sqrt[]{x}+1}+\frac{x+3}{x-1}$
$⇔\frac{2}{\sqrt[]{x}+1}+\frac{x+3}{(\sqrt[]{x}-1)(\sqrt[]{x}+1)}$
$⇔\frac{2.(\sqrt[]{x}-1)+x+3}{(\sqrt[]{x}-1)(\sqrt[]{x}+1)}$
$⇔\frac{x+2\sqrt[]{x}+1}{(\sqrt[]{x}-1)(\sqrt[]{x}+1)}$
$⇔\frac{(\sqrt[]{x}+1)^2}{(\sqrt[]{x}-1)(\sqrt[]{x}+1)}=\frac{\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}-1} $
$c,$
Nếu bạn để ý kĩ thì chúng ta có thể hiểu đề bài như sau:
Tìm $x$ nguyên để $C=A.B$ có giá trị nguyên và trong các số nguyên đó thì tìm $x$ lớn nhất.
Ta có: $C=A.B=\frac{\sqrt[]{x}+2}{\sqrt[]{x}+1}.\frac{\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}-1}$
$⇔C=\frac{\sqrt[]{x}+2}{\sqrt[]{x}-1}$
$⇔C=\frac{\sqrt[]{x}-1+3}{\sqrt[]{x}-1}$
$⇔C=1+\frac{3}{\sqrt[]{x}-1}$
Để $C$ đạt giá trị nguyên thì: $\sqrt[]{x}-1 \in Ư_{(3)}=±1;±3$
$⇔\sqrt[]{x}-1 =1⇔x=4$ (Nhận)
$⇔\sqrt[]{x}-1 =-1⇔x=0$ (Nhận)
$⇔\sqrt[]{x}-1 =3⇔x=16$ (Nhận)
$⇔\sqrt[]{x}-1 =-3⇔\sqrt[]{x}=-2$ (Loại)
$⇒$Trong đó giá trị nguyên lớn nhát là $16$
Vậy với $x=16$ Thì thỏa mãn biểu thức: $C=A.B$ nguyên.
