Giải thích các bước giải:
Ta sẽ chứng minh \(x^{3}+y^{3}\geqslant xy(x+y) (x,y> 0)\)
Thật vậy, \(x^{3}+y^{3}\geqslant xy(x+y)\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})-xy(x+y)\geqslant 0\)
\(\Leftrightarrow (x+y)(x-y)^{2}\geqslant 0\) (đúng)
\(\Rightarrow x^{3}+y^{3}+1=x^{3}+y^{3}+xyz\geqslant xy(x+y)+xyz=xy(x+y+z)\)
Tương tự, ta có: \(y^{3}+z^{3}+1\geqslant yz(x+y+z)\) ; \(z^{3}+x^{3}+1\geqslant zx(x+y+z)\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{x^{3}+y^{3}+1}+\frac{1}{y^{3}+z^{3}+1}+\frac{1}{z^{3}+x^{3}+1}\)
\(\leqslant \frac{1}{xy(x+y+z)}+\frac{1}{yz(x+y+z)}+\frac{1}{zx(x+y+z)}\)
\(=\frac{1}{x+y+z}\left ( \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \right )\)
\(=\frac{1}{x+y+z}\frac{x+y+z}{xyz}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là 1, đạt được khi \(x=y=z=1\)
