Đáp án: D
Giải thích các bước giải:
$\begin{gathered} {V_{SABC}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.2a.\frac{{AB.BC}}{2} = \frac{1}{3}.2a.\frac{{a.\sqrt 3 a}}{2} \hfill \\ = 3\sqrt 3 {a^3} \hfill \\ \end{gathered} $
Vì tam giác ABC vuông tại B nên theo Pytago ta có:
$\begin{gathered} AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{(\sqrt 3 a)}^2}} = 2a \hfill \\ \Rightarrow AC = SA \hfill \\ \end{gathered} $
=> tam giác SAC vuông cân tại A
=> SK=$\frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 $, $\frac{{SK}}{{SC}} = \frac{1}{2}$
Ta có:
$\begin{gathered} \frac{2}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{{(2a)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{{5{a^2}}}{4} \hfill \\ = > AH = \frac{{2\sqrt {10} a}}{5} \hfill \\ \end{gathered} $
=> $SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} - {{(\frac{{2\sqrt {10} }}{5}a)}^2}} = \frac{{2\sqrt {15} }}{5}a$
$SB = \sqrt {A{S^2} + B{A^2}} = \sqrt {{a^2} + {{(2a)}^2}} = \sqrt 5 a$
=> $\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{5}$
$\frac{{{S_{SAHK}}}}{{{S_{SABC}}}} = \frac{{SK}}{{SC}}.\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{5}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{5}$
=> ${S_{SAHK}} = \frac{{9{a^3}}}{5}$
=> ${S_{ABCKH}} = 3\sqrt 3 {a^3} - \frac{{9{a^3}}}{5} = \frac{{15\sqrt 3 - 9}}{5}{a^3}$( hệ số gần với 3 nhất)
=> đáp án D
