Đáp án:
`a)` `x\ne ±2`
`\qquad P=x^2+x+2`
`b)` `P_{min}=7/4` tại `x=-1/2`
`c)` `x\in {0;1;-1}`
Giải thích các bước giải:
`a)` `P=(1/{x-2}-{x^2}/{8-x^3}.{x^2+2x+4}/{x+2}):1/{x^2-4}`
`ĐKXĐ:`$\begin{cases}x-2\ne 0\\8-x^3\ne 0\\x+2\ne 0\\x^2-4\ne 0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}x\ne 2\\x^3\ne 8\\x\ne -2\\x\ne ±2\end{cases}$`=>x\ne ±2`
Vậy `x\ne ±2` thì $P$ có nghĩa
$\\$
`P=(1/{x-2}+{x^2}/{x^3-2^3}. {x^2+2x+4}/{x+2}) . (x^2-4)`
`P=[1/{x-2}+{x^2.(x^2+2x+4)}/{(x-2)(x^2+2x+4)(x+2)}].(x^2-4)`
`P=[{x+2}/{(x-2)(x+2)}+{x^2}/{(x-2)(x+2)}].(x^2-4)`
`P={x^2+x+2}/{x^2-4} .(x^2-4)`
`P=x^2+x+2`
$\\$
`b)` Ta có:
`P=x^2+x+2`
`=(x^2+2.x. 1/ 2 +1/ 4 )+7/4`
`=(x+1/2)^2+7/4`
Với mọi `x\ne ±2` ta có:
`\qquad (x+1/2)^2\ge 0`
`<=>(x+1/2)^2+7/4\ge 7/4`
`<=>P\ge 7/4`
Dấu "=" xảy ra khi:
`\qquad (x+1/2)^2=0<=>x=-1/2\ (thỏa\ đk)`
Vậy $GTNN$ của $P$ bằng `7 /4` khi `x=-1/2`
$\\$
`c)` Ta có:
`\qquadP= x^2+x+2`
`=x^2+1+x+1`
Vì `(x^2+1)\ \vdots\ (x^2+1)`
`=>` Để `P\ \vdots\ (x^2+1)` thì:
`\qquad (x+1)\vdots\ (x^2+1)`
Vì `x\in ZZ=>x-1\in ZZ`
`=>(x-1)(x+1)\ \vdots\ (x^2+1)`
`=>(x^2-1)\ \vdots\ (x^2+1)`
`=>(x^2+1-2)\ \vdots\ (x^2+1)`
`=> -2\ \vdots\ (x^2+1)`
`=>(x^2+1)\in Ư(2)={-2;-1;1;2}`
`=>x^2\in {-3;-2;0;1}`
Vì `x^2\ge 0` với mọi `x\ne ±2`
`=>x^2\in {0;1}`
`=>x\in {0;1;-1}`
Vậy `x\in {0;1;-1}` thỏa đề bài
