Giải thích các bước giải:
Bài 36:
a.Xét $\Delta AEC, \Delta BCD$ có:
$CA=CB$
Chung $\hat C$
$CE=\dfrac12CB=\dfrac12CA=CD$
$\to\Delta ACE=\Delta BCD(c.g.c)$
$\to AE=BD$
b.Ta có $CA=CB, CD=CE\to \Delta CAB,\Delta CDE$ cân tại $C$
$\to \widehat{CDE}=90^o-\dfrac12\hat C=\widehat{CAB}$
$\to DE//AB$
c.Ta có $AE, BD$ là trung tuyến $\Delta ABC, AE\cap BD=M\to M$ là trọng tâm $\Delta ABC\to CM\cap AB=I$ là trung điểm $AB$
$\to CI\perp AB$ vì $\Delta ACB$ cân tại $C$
$\to IM\perp AB$
Ta có $I$ là trung điểm $AB\to IA=IB=\dfrac12AB=12$
$\to IC^2=BC^2-BI^2=81$
$\to IC=9$
Mà $M$ là trọng tâm $\Delta ABC\to IM=\dfrac13IC=3$
d.Trên tia đối của tia $EA$ lấy $K$ sao cho $EA=EK$
Xét $\Delta AEB,\Delta CEK$ có:
$EA=EK$
$\widehat{AEB}=\widehat{CEK}$
$EB=EC$
$\to \Delta AEB=\Delta KEC(c.g.c)$
$\to AB=CK$
$\to AK<AC+CK$
$\to 2AE<AC+AB$
$\to AE<\dfrac{AB+AC}{2}$
Tương tự $BD<\dfrac{BA+BC}{2}, CI<\dfrac{CA+CB}{2}$
$\to AE+BD+CI<\dfrac{AB+AC}{2}+\dfrac{BA+BC}{2}+\dfrac{CA+CB}{2}$
$\to AE+BD+CI<AB+AC+BC$
$\to 2AE+CI<AB+2BC$
Bài 37:
a.Xét $\Delta ABD,\Delta ACE$ có:
$AD=AE$
$\widehat{ADB}=\hat D=\hat E=\widehat{AEC}$
$BD=CE$
$\to\Delta ABD=\Delta ACE(c.g.c)$
$\to AB=AC$
$\to\Delta ABC$ cân tại $A$
b.Xét $\Delta BMD,\Delta CNE$ có:
$\widehat{BMD}=\widehat{CNE}(=90^o)$
$BD=CE$
$\widehat{BDM}=\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=\widehat{CEN}$
$\to \Delta BDM=\Delta CEN$(cạnh huyền-góc nhọn)
$\to BM=CN$
c.Từ câu b $\to \widehat{MBD}=\widehat{NCE}$
$\to \widehat{IBC}=\widehat{MBD}=\widehat{NCE}=\widehat{ICB}$
$\to\Delta ICB$ cân tại $I$
