Gọi $H$ là trực tâm $\Delta ABC$, $AH$ cắt $BC$ tại $I$, cắt $(O)$ tại $H'$, $BH$ cắt $AC$ tại $K$
Tứ giác $BIKA$ nội tiếp do $I, K$ nhìn đoạn $AB$ dưới góc $90^o$
$\to \widehat{IBK}=\widehat{IAC}$
Mà $\widehat{H'BC}=\widehat{IAC}=\dfrac{1}{2} sđ\stackrel\frown{H'C}$
$\to \widehat{H'BC}=\widehat{IBK}$
$\Delta H'BH$ có $BI$ là đường cao, là phân giác nên cũng là trung tuyến
$\to H, H'$ đối xứng nhau qua trục $BC$ cố định
Mà $H'$ di chuyển trên $(O;R)$ nên $H$ di chuyển trên $(O';R)$ là ảnh của $(O;R)$ qua $D_{BC}$
Do $O$ cố định, $R$ cố định nên $(O';R)$ cố định
Vậy trực tâm $H$ thuộc đường tròn cố định khi $A$ thay đổi
