$\text{Xét tam giác ABD có }$
$\text{+) M là trung điểm AB }$
$\text{+)N là trung điểm BD }$
$\text{Suy ra: MN là trung điểm của tam giác ABD }$
$\text{⇒MN//AD }$
$\text{Xét tam giác BDC có }$
$\text{+) P là trung điểm AC }$
$\text{+)N là trung điểm BD }$
$\text{Suy ra: PN là trung điểm của tam giác BD }$
$\text{⇒PN//BC }$
$\text{Xét tam giác ACD có }$
$\text{+) P là trung điểm DC }$
$\text{+)Q là trung điểm AC }$
$\text{Suy ra: PQ là trung điểm của tam giác ACD }$
$\text{⇒PQ//AC }$
$\text{Xét tam giác ABC có }$
$\text{+) Q là trung điểm AC }$
$\text{+)M là trung điểm BA }$
$\text{Suy ra: MQ là trung điểm của tam giác ABC }$
$\text{⇒MQ//BC }$
$\text{Mặt khác Vì C+D=90 nên AD vuông góc với BC }$
$\text{Mà MN//AD và MQ//BC }$
$\text{Nên MN vuông góc với MQ (1) }$
$\text{Chứng minh tương tự }$
$\text{MQ vuông góc với PQ (2) }$
$\text{QP vuông góc với NP (3) }$
$\text{MN vuông góc với NP (4) }$
$\text{Từ (1);(2);(3);(4) ⇒ tứ giác MNPQ là hình chữ nhật }$
$\text{⇒M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn }$
