a) Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta được :
$a+b+c ≥ 3\sqrt[3]{abc}$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≥ 3\sqrt[3]{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}} = 3 \sqrt[3]{\frac{1}{abc}}$
$⇒(a+b+c).(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}+\frac{1}{c}) ≥ 9 $ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra $⇔a=b=c$.
b) Áp dụng BĐT ở câu a) ta có :
$[2(a+b+c)](\frac{a^2}{a+b} +\frac{b^2}{c+a}+\frac{c}{a+b} ) ≥ (a+b+c)^2$
$⇒ \frac{a^2}{a+b} +\frac{b^2}{c+a}+\frac{c}{a+b} ≥ \frac{a+b+c}{2} $.
Dấu "=" xảy ra $⇔ a=b=c$.
Câu a) và b) anh có thể sử dụng BĐT Bunhiacopxki cũng được nhé !
Chúc anh học tốt !
Câu a) Cách khác :
Ta có : $(a+b+c).(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}+\frac{1}{c}) = 1+\frac{a}{b}+ \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + 1 + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + 1
$=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}) $
Ta đi chứng minh : $ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} ≥ 2 ∀x,y > 0$
Thật vậy, BĐT cần chứng minh tương đương : \frac{(x-y)^2}{xy} ≥ 0 ( đúng )
Áp dụng vào bài toán ta có : $ (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}) ≥ 6$
$⇒3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}) ≥ 9$
$⇒(a+b+c).(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}+\frac{1}{c}) ≥ 9 $ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra $⇔a=b=c$.
