Bài 5:
a. $3(b^2+2a^2) ≥ (b+2a)^2$
⇔ $3b^2+6a^2 ≥ b^2+4ab+4a^2 $
⇔ $2a^2-4ab+2b^2 ≥ 0$
⇔ $2(a-b)^2 ≥ 0$ $∀a,b$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $a=b$
b. Theo câu a ra ta có:
$3(b^2+2a^2)$ $\geq$ $(b+2a)^2$
⇒ $\sqrt[]{b^2+2a^2}$ $\geq$ $\frac{b+2a}{\sqrt[]{3}}$
⇒ $\frac{\sqrt[]{b^2+2a^2}}{ab}$ $\geq$ $\frac{bc+2ac}{\sqrt[]{3}abc}$ $(1)$
Chứng minh tương tự ta có:
$\frac{\sqrt[]{c^2+2b^2}}{bc}$ $\geq$ $\frac{ca+2ab}{\sqrt[]{3}abc}$ $(2)$
$\frac{\sqrt[]{a^2+2c^2}}{ca}$ $\geq$ $\frac{ab+2bc}{\sqrt[]{3}abc}$ $(3)$
Cộng $(1),$ $(2)$ và $(3)$ vế theo vế ta được:
$\frac{\sqrt[]{b^2+2a^2}}{ab}+$$\frac{\sqrt[]{c^2+2b^2}}{bc}+$ $\frac{\sqrt[]{a^2+2c^2}}{ca} $$\geq$ $\frac{3(ab+bc+ca)}{\sqrt[]{3}abc}=\sqrt[]{3}$ $(đpcm)$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $a=b=c=3$
