a) Có: Tam giác ABC vuông tại A (gt) nên ⇒Góc BAC=90 độ (T/c Δ vuông) hay góc DAE=90 độ
D là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB (gt) nên⇒DM⊥AB tại D⇒Góc ADM=Góc BDM=90 độ
E là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AC (gt) nên⇒EM⊥AC tại E⇒Góc MEA=Góc MEC=90 độ
Xét tứ giác ADME,có:
Góc DAE=Góc ADM=Góc AEM=90 độ (cmt)
⇒Tứ giác ADME là hình chữ nhật (dhnb)
b) Có: ADME là hình chữ nhật (cma) nên
⇒ AM cắt DE tại trung điểm mỗi đường (T/c hình chữ nhật)
Mà I là trung điểm của DE (gt)
⇒ I cũng là trung điểm của AM
⇒ 3 điểm I,A,M thẳng hàng
c) Kẻ AK⊥BC tại K
Có: ADME là hình chữ nhật (cma) nên:
⇒ AM=DE (t/c hình chữ nhật)
Có: AM≥AK (Khoảng cách các đoạn cùng một điểm kéo xuống cùng một mặt phẳng)
Dấu "=" xảy ra ⇔ AM=AK
⇔ AM⊥BC tại M
⇔ M là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC
Vậy DE có độ dài nhỏ nhất ⇔ M là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC
*)Giả sử M là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC.
Xét tam giác ABC vuông tại A (gt), có:
BC²=AB²+AC² (Định lý Py-ta-go)
BC²=15²+20²
BC²=625
⇒BC=25 (cm)
Có: M là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC
⇒AM⊥BC tại M
⇒Góc AMB=Góc AMC= 90 độ
Xét tam giác MBA và tam giác ABC, có:
Góc AMB=Góc BAC=90 độ
Góc ABC chung
⇒Tam giác MBA~Tam giác ABC (g.g)
⇒$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AB}{BC}$
⇒ $\frac{AM}{20}$=$\frac{15}{25}$
⇒AM=12 (cm) hay DE=12 cm (đpcm)
