Đáp án:
$\mathop{\max}\limits_{\left[-\tfrac32;2\right]}g(x) = f(2) - 4$
Giải thích các bước giải:
$\quad g(x) = f(2x) - 4x$
$\Rightarrow g'(x) = 2f'(2x) - 4$
$g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(2x) = 2$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2x = a,\ \ a\in (-\infty;-3)\\2x = 0\\2x = 2\\2x = b,\ \ b\in(4;+\infty)\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \dfrac{a}{2},\ \ \dfrac{a}{2}\in \left(-\infty;-\dfrac32\right)\\x = 0\\x = 1\\x = \dfrac{b}{2},\ \ b\in (2;+\infty)\end{array}\right.$
Ta có bảng xét dấu:
\(\begin{array}{c|ccc}
x&-\infty&&\dfrac{a}{2}&&-\dfrac{3}{2}&&0&&1&&2&&\dfrac{b}{2}&&+\infty\\\hline
g'(x)&&-&0&+&\vert&+&0&+&1&-&\vert&-&0&+
\end{array}\)
Dựa vào bảng xét dấu ta được:
$\mathop{\max}\limits_{\left[-\tfrac32;2\right]}g(x) = g(1) = f(2) - 4$
