a) Ta có:

$BC^2 = 10^2 = 100$

$AB^2 = 6^2 = 36$

$AC^2 = 8^2 = 64$

Ta thấy $BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\Rightarrow ΔABC$ vuông tại $A$ (Theo định lý Pytago đảo)

$\Rightarrow AC\perp AB$

b) Ta có: $MN\perp AB \, (gt)$

$AC\perp AB$ (câu a)

$\Rightarrow MN//AC \, (\perp AB)$

c) Ta có: $MP\perp AC \, (gt)$

$AB\perp AC$ (câu a)

$\Rightarrow MP//AB \, (\perp AC)$

Xét $ΔABC$ có:

$BM = MC \, (gt)$

$MP//AB \, (cmt)$

$\Rightarrow MP$ là đường trung bình

$\Rightarrow AP = PC = \dfrac{1}{2}AC$

Tương tự, xét $ΔABC$ có:

$BM = MC \, (gt)$

$MN//AC$ (câu b)$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình

$\Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}AC; \, AN = NB$

Vậy $MN = CP$

d) Ta có: $AP = PC$ (chứng minh ở câu c)

$\Rightarrow P$ là trung điểm $AC$

e) Xét $ΔABC$ vuông tại $A$ có:

$AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ $(gt)$

$\Rightarrow MA = MB = MC = \dfrac{1}{2}BC$

$\Rightarrow ΔMAC$ cân tại $M$

f) Xét $ΔABC$ có:

$AM$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$ $(gt)$

$CN$ là trung tuyến ứng với cạnh $AB$ $(AN = NB)$

$BP$ là trung tuyến ứng với cạnh $AC$ $(AP = PC)$

Do đó $AM, CN, BP$ đồng quy (Tính chất 3 đường trung tuyến)

g) Xét tứ giác $ANMP$ có:

$\widehat{ANM} = 90^o$ $(MN\perp AB)$

$\widehat{APM} = 90^o$ $(MP\perp AC)$

$\widehat{NAP} = 90^o$ $(AC\perp AB)$

Do đó $ANMP$ là hình chữ nhật

Ta lại có: $O$ là giao điểm hai đường chéo $AM, NP$

$\Rightarrow OA = ON = OM = OP$

h) Ta có: $ANMP$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \widehat{APN} = \widehat{MAP}$

hay $\widehat{APN} = \widehat{MAC}$

mà $\widehat{MAC} = \widehat{MCA}$ ($ΔMAC$ cân tại $M$)

nên $\widehat{APN} = \widehat{MCA}$

$\Rightarrow NP//BC$ (Hai góc đồng vị bằng nhau)

k) Xét tứ giác $CMNP$ có:

$MN//AC$ (câu b)

$\Rightarrow MN//PC$

$MN = CP$ (câu c)

Do đó $CMNP$ là hình bình hành

Ta lại có: $I$ là trung điểm đường chéo $MP$

$\Rightarrow I$ là trung điểm đường chéo $CN$

Hay $C,I,N$ thẳng hàng