Đáp án:

`a,`

Xét `ΔABE` và `ΔDBE` có :

`hat{BAE} = hat{BDE} = 90^o`

`BE` chung

`AB = DB` (giả thiết)

`-> ΔABE = ΔDBE` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\\$

$\\$

$b,$

Có : `AB = DB` (giả thiết)

`-> B` nằm trên đường trung trực của `AD` `(1)`

Do `ΔABE = ΔDBE` (chứng minh trên)

`-> AE = DE` (2 cạnh tương ứng)

`-> E` nằm trên đường trung trực của `AD` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> BE` là đường trung trực của `AD`

$\\$

$\\$
$c,$

Do `ΔABD = ΔDBE` (chứng minh trên)

`-> hat{ABE} = hat{DBE}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{ABE} = hat{CBE}`

`-> BE` là tia phân giác của `hat{ABC}`

$\\$

$\\$

$d,$

Xét `ΔAEF` và `ΔDEC` có :

`hat{AEF} = hat{DEC}` (2 góc đối đỉnh)

`hat{FAE} = hat{CDE} = 90^o`

`AE = DE` (giả thiết)

`-> ΔAEF = ΔDEC` (góc - cạnh - góc)

`->EF = EC` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔCEF` cân tại `E`

$\\$

$\\$

$e,$

Có : `CA⊥BF`

`-> CA` là đường cao của `ΔBFC`

Có : `FD⊥BC`

`-> FD` là đường cao của `ΔBFC`

Xét `ΔBFC` có :

`CA` là đường cao

`FD` là đường cao

`CA` cắt `FD` tại `E`

`-> E` là trực tâm của `ΔBFC`

`-> BE` là đường cao

`-> BE⊥CF`

$\\$

$\\$

$f,$

Kẻ `DM⊥AC (M ∈ AC)`

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB⊥AC\\DM⊥AC\end{array} \right.\)

$→ AB//DM$

`-> hat{ADM} = hat{BAD}` (2 goc so le trong)

Có : `BA = BD` (giả thiết)

`-> ΔABD` cân tại `B`

`-> hat{BAD} = hat{ADH}`

mà `hat{ADM} = hat{BAD}`

`-> hat{ADH} = hat{ADM} (= hat{BAD})`

Xét `ΔAHD` và `ΔAMD` có :

`hat{AHD} = hat{AMD} = 90^o`

`AD` chung

`hat{ADH] = hat{ADM}` (chứng minh trên)

`-> ΔAHD = ΔAMD` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> HD = DM` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔDMC` có :

`hat{DMC} = 90^o`

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`DC` là cạnh lớn nhất

`-> DC > DM`

mà `HD = DM` (chứng minh trên)

`-> HD < DC`

`a)`

Xét `2Δ` vuông `ABE` và `DBE` có:

            `BA=BD(g``t)`

             `BE:chung`

`⇒ΔABE=ΔDBE(`cạnh huyền-cạnh góc vuông `)`

`b)`

Theo câu `a)ΔABE=ΔDBE(`cạnh huyền-cạnh góc vuông `)`

`⇒AE=DE(2` cạnh tương ứng `)`

Mà `BA=BD(g``t)`

`⇒BE` là đường trung trực của đoạn thẳng `AD`

`c)`

Theo câu `a)ΔABE=ΔDBE(`cạnh huyền-cạnh góc vuông `)`

`⇒hat{B_1}=hat{B_2}(2` góc tương ứng `)`

`⇒BE` là tia phân giác của `hat{ABC}`

`d)`

Xét `2Δ` vuông `AEF` và `DEC` có:

       `hat{E_1}=hat{E_1}(2` góc đối đỉnh`)`

               `AE=DE(cmt)`

`⇒ΔAEF=ΔDEC(` cạnh góc vuông-góc nhọn kề `)`

`⇒EF=EC(2` cạnh tương ứng `)`

`⇒ΔCEF` cân tại `E`

`e)`

Xét `ΔBFC` có:

`FD⊥BC(g``t)`

`CA⊥BF(g``t)`

`E` là giao điểm của `FD` và `CA`

`⇒E` là trực tâm của `ΔBFC`

`⇒BE⊥CF(đpcm)`

`f)`

Kẻ `DG⊥AC`

Theo câu `d)ΔAEF=ΔDEC(` cạnh góc vuông-góc nhọn kề `)`

`⇒AE=DE(2` cạnh tương ứng `)`

`⇒ΔAED` cân tại `A`

`⇒hat{A_1}=hat{D_1}(` tính chất `Δ` cân `)`

Ta có:`AH⊥BC(g``t)`

         `FD⊥BC(g``t)`

`⇒AH``/``/``FD`

`⇒hat{A_2}=hat{D_1}(2` góc so le trong `)`

Mà `hat{A_1}=hat{D_1}(cmt)`

`⇒hat{A_2}=hat{A_1}`

Xét `2Δ` vuông `AHD` và `AGD` có:

           `hat{A_2}=hat{A_1}(cmt)`

               `AD:chung`

`⇒ΔAHD=ΔAGD(` cạnh huyền-góc nhọn `)`

`⇒HD=GD(2` cạnh tương ứng `)`

Xét `ΔCDG` vuông tại `G`, áp dụng quan hệ đường xiên và đường vuông góc ta có:

                                          `GD<DC`

Mà `HD=GD(cmt)`

`⇒HD<DC(đpcm)`