a) $ΔBEC$ có:
$\widehat{E} = 90^o \quad (BE\perp AC)$
$\widehat{EBC} = 50^o \quad (gt)$
$\Rightarrow \widehat{ECB} = 90^o - \widehat{EBC} = 90^o - 50^o = 40^o$
Ta có:
$\dfrac{CE}{BC} = \cos\widehat{ECB}$
$\Rightarrow BC = \dfrac{CE}{\cos\widehat{ECB}} = \dfrac{4}{\cos40^o} \approx 5,22\, cm$
$\dfrac{BE}{CE} = \tan\widehat{ECB}$
$\Rightarrow BE = CE.\tan\widehat{ECB} = 4.\tan40^o \approx 3,36\, cm$
b) Xét $ΔABC$ có:
$BE,CF$ là đường cao
$\Rightarrow H$ là trực tâm
$\Rightarrow AH\perp BC$
$\Rightarrow \widehat{HAB} = \widehat{FCB}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)
Xét $ΔAFH$ và $ΔCFB$ có:
$\widehat{AFH} = \widehat{CFB} = 90^o$
$\widehat{HAB} = \widehat{FCB} \quad (cmt)$
Do đó $ΔAFH \sim ΔCFB \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AF}{FC} = \dfrac{HF}{FB}$
$\Rightarrow HF.FC = AF.FB$
c) Gọi $M$ là trung điểm $BC$
Xét $ΔBEC$ vuông tại $E$ có:
$M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$
$\Rightarrow ME = MB = MC$
Chứng minh tương tự, ta được:
$MF = MB = MC$
$\Rightarrow B,E,C,F$ cùng thuộc đường tròn tâm $M$
$\Rightarrow M\equiv K$
Ta có:
$KF = KC = R$
$\Rightarrow ΔKFC$ cân tại $K$
$\Rightarrow \widehat{KFC} = \widehat{KCF} = \widehat{BCF}$
Xét $ΔAFH$ vuông tại $F$ có:
$I$ là trung điểm cạnh huyền $AH$
$\Rightarrow IA = IF = IH$
$\Rightarrow ΔIFA$ cân tại $I$
$\Rightarrow \widehat{IFA}=\widehat{IAF} = \widehat{HAB}$
mà $\widehat{HAB} = \widehat{BCF}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)
nên $\widehat{IFA} = \widehat{KFC}$
Ta lại có:
$\widehat{IFA} + \widehat{IFH} = \widehat{AFH} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{KFC} + \widehat{IFH} = \widehat{IFK} =90^o$
$\Rightarrow FK\perp FI$
d) Gọi $D$ là giao điểm của $AH$ và $BC$
Ta có: $AH\perp BC$
$\Rightarrow \begin{cases}BD = AB.\cos B\\CD = AC.\cos C\end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}BD = AB.\dfrac{BF}{BC}\\CD = AC.\dfrac{CE}{BC}\end{cases}$
$\Rightarrow BD + CD = \dfrac{AB.BF}{BC} + \dfrac{AC.CE}{BC}$
$\Rightarrow BC = \dfrac{AB.BF}{BC} + \dfrac{AC.CE}{BC}$
$\Rightarrow BC^2 = AB.BF + AC.CE$
