a) Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$\Rightarrow BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\, cm$
$+) \quad \sin\widehat{B} = \cos\widehat{C} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{4}{5}$
$+) \quad \cos\widehat{B} = \sin\widehat{C} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{5}$
$+) \quad \tan\widehat{B} = \cot\widehat{C} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{4}{3}$
$+) \quad \cot\widehat{B} = \tan\widehat{C} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3}{4}$
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$AE.AC = AH^2$
$HB.HC = AH^2$
$\Rightarrow AE.AC = HB.HC$
c) Xét tứ giác $ADHE$ có:
$\widehat{A} = \widehat{D}= \widehat{E} = 90^o$
Do đó $ADHE$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow DE = AH$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$AB.AC = BC.AH$
$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC} = \dfrac{3.4}{5} = \dfrac{12}{5}\,cm$
Vậy $DE = \dfrac{12}{5}\, cm$
c) Ta có: $ADHE$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow \widehat{ADE} = \widehat{HAD}$
hay $\widehat{ADE} = \widehat{HAB}$
Mặt khác: $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$
$\Rightarrow AM = MB = MC$
$\Rightarrow ΔMAB$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{MAB} = \widehat{MBA}$
hay $\widehat{MAD} = \widehat{HBA}$
Do $\widehat{HBA} + \widehat{HAB} = 90^o$
nên $\widehat{MAD} + \widehat{ADE} = 90^o$
$\Rightarrow AM\perp DE$
