Giải thích các bước giải:

1,

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + 4{m^2} \le 2mx + 1\\
3x + 2 > 2x - 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {1 - 2m} \right)x \le 1 - 4{m^2}\\
x > 3
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\
TH1:\,\,\,m = \frac{1}{2}\\
\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0x \le 0\\
x > 3
\end{array} \right.
\end{array}\)

Suy ra hệ đã cho có nghiệm \(x > 3\) (thỏa mãn)

\(\begin{array}{l}
TH2:\,\,\,m < \frac{1}{2} \Rightarrow 1 - 2m > 0\\
\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 1 + 2m\\
x > 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < x \le 1 + 2m
\end{array}\)

Do đó, hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(1 + 2m > 3 \Leftrightarrow m > 1\,\,\,\,\left( {L,\,\,\,{\rm{do}}\,\,\,m < \frac{1}{2}} \right)\)

\(\begin{array}{l}
TH3:\,\,\,m > \frac{1}{2} \Rightarrow 1 - 2m < 0\\
\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1 + 2m > 1 + 2.\frac{1}{2} > 2\\
x > 3
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow x > 3\,\,\,\,\,\left( {t/m} \right)
\end{array}\)

Vậy \(m \ge \frac{1}{2}\)

2,

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
mx - 1 > 0\\
\left( {3m - 2} \right)x - m > 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
mx > 1\\
\left( {3m - 1} \right)x > m
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( * \right)\\
TH1:\,\,\,m < 0 \Rightarrow 3m - 1 < 0\\
\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x < \frac{1}{m}\\
x < \frac{m}{{3m - 1}}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Hệ trên có nghiệm với mọi \(m < 0\),  (loại)

\(\begin{array}{l}
TH2:m = 0\\
\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0x > 1\\
 - 2x > 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

Hệ trên vô nghiệm nên \(m = 0\) là thỏa mãn.

\(\begin{array}{l}
TH3:\,\,0 < m < \frac{2}{3}\\
\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > \frac{1}{m}\\
x < \frac{m}{{3m - 2}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{m} < x < \frac{m}{{3m - 2}}
\end{array}\)

Hệ trên vô nghiệm khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{m} \ge \frac{m}{{3m - 2}}\\
 \Leftrightarrow \frac{{3m - 2 - {m^2}}}{{m\left( {3m - 2} \right)}} \ge 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right)}}{{m\left( {3m - 2} \right)}} \le 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
0 < m < \frac{2}{3} \Rightarrow m\left( {3m - 2} \right) < 0\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \ge 2\\
m \le 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do đó, \(0 < m < \frac{2}{3}\,\,\,\,\left( {t/m} \right)\)

\(\begin{array}{l}
TH4:\,\,\,m = \frac{2}{3}\\
\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{2}{3}x > 1\\
0x > \frac{2}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Hệ trên vô nghiệm nên \(m = \frac{2}{3}\) thỏa mãn.

\(\begin{array}{l}
TH5:\,\,\,m > \frac{2}{3}\\
\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > \frac{1}{m}\\
x > \frac{m}{{3m - 2}}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Hệ trên luôn có nghiệm - Loại.

Vậy \(0 \le m \le \frac{2}{3}\)

3,

\(\begin{array}{l}
\frac{{mx - m + 1}}{{x - 1}} < 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{mx - \left( {m - 1} \right)}}{{x - 1}} < 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\\
TH1:\,\,m = 0\\
\left( * \right) \Leftrightarrow \frac{{0x + 1}}{{x - 1}} < 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 1}} < 0 \Leftrightarrow x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1\\
TH2:\,\,\frac{{m - 1}}{m} > 1 \Leftrightarrow \frac{{m - 1 - m}}{m} > 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{m} > 0 \Leftrightarrow m < 0\\
\left( * \right) \Leftrightarrow 1 < x < \frac{{m - 1}}{m}\\
TH3:\,\,\,\frac{{m - 1}}{m} < 1 \Leftrightarrow \frac{{m - 1 - m}}{m} < 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{m} < 0 \Leftrightarrow m > 0\\
\left( * \right) \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{m} < x < 1
\end{array}\)