Đáp án:
$1)\quad y = \dfrac{1}{a+b}e^{bx} + C_1.e^{-ax}$
$3)\quad y = x^2\sin x + C_3\sin x$
Giải thích các bước giải:
$1)\quad y' + ay = e^{bx}\qquad (1)$
Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:
$\quad y = C.e^{\displaystyle\int -adx}$
$\Leftrightarrow y = C.e^{-ax}$
Do đó nghiệm tổng quát của $(1)$ có dạng:
$\quad y = C(x).e^{-ax}$
$\Rightarrow y' = C'(x).e^{-ax} - a.C(x).e^{-ax}$
Thay vào $(1)$ ta được:
$\quad C'(x).e^{-ax} - a.C(x).e^{-ax} + a.C(x).e^{-ax} = e^{bx}$
$\Leftrightarrow C'(x)= e^{(a+b)x}$
$\Leftrightarrow C(x)= \dfrac{1}{a+b}e^{(a+b)x} + C_1$
Vậy phương trình có nghiệm:
$y = \dfrac{1}{a+b}e^{bx} + C_1.e^{-ax}$
$3)\quad y' - y\cot x = 2x\sin x\qquad (3)$
Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:
$\quad y = C.e^{\displaystyle\int\cot xdx}$
$\Leftrightarrow y = C.e^{\ln(\sin x)}$
$\Leftrightarrow y = C.\sin x$
Do đó nghiệm tổng quát của $(3)$ có dạng:
$\quad y = C(x).\sin x$
$\Rightarrow y' = C'(x).\sin + C(x).\cos x$
Thay vào $(3)$ ta được:
$\quad C'(x).\sin x+ C(x).\cos x - C(x).\sin x.\cot x = 2x\sin x$
$\Leftrightarrow C'(x)= 2x$
$\Leftrightarrow C(x)= x^2 + C_3$
Vậy phương trình có nghiệm:
$y = x^2\sin x + C_3\sin x$
