Câu 2d: TXĐ: $\dfrac{1}{2}≤x≤3$
Ta có:
$y'=\dfrac{x}{\sqrt[]{2x-1}}+\dfrac{1}{\sqrt[]{3-x}}$
Vì $x∈\Bigg[\dfrac{1}{2};3\Bigg]$ nên $y'>0$
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên $\Bigg[\dfrac{1}{2};3\Bigg]$.
Câu 3d:
$y'=\dfrac{x^2-2mx+2m^2+1}{(x-m)^2}$
Để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định thì
$y'≥0$
$↔ x^2-2mx+2m^2+1≥0$
$→ m^2-2m^2-1≤0$
$↔ m^2≥-1$ (Luôn đúng)
Vậy $∀m∈R$ thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.
Câu 4:
$y'=(m-1)x^2+2mx+3m-2$
a) Để hàm số nghịch biến trên $R$ thì $y'≤0$, $∀x∈R$
+) TH1: $m=1$
$y'=2x+1$ (không thỏa mãn $y'≤0$, $∀x∈R$)
+) TH2: $m\neq1$
Ycbt $↔ m-1<0$ và $m^2-(m-1)(3m-2)≤0$
$↔ m<1$ và $-2m^2+5m-2≤0$
$↔ m<1$ và $\left[ \begin{array}{l}m≤\dfrac{1}{2}\\m≥2\end{array} \right.$
$→ m≤\dfrac{1}{2}$
Vậy $m≤\dfrac{1}{2}$ là giá trị cần tìm.
b) Để hàm số đồng biến trên $R$ thì $y'≥0$, $∀x∈R$
+) TH1: $m=1$
$y'=2x+1$ (không thỏa mãn $y'≥0$, $∀x∈R$)
+) TH2: $m\neq1$
Ycbt $↔ m-1>0$ và $m^2-(m-1)(3m-2)≤0$
$↔ m>1$ và $-2m^2+5m-2≤0$
$↔ m>1$ và $\left[ \begin{array}{l}m≤\dfrac{1}{2}\\m≥2\end{array} \right.$
$→ m≥2$
Vậy $m≥2$ là giá trị cần tìm.
Câu 5:
Ta có:
$y'=\dfrac{x^2+2x-m+1}{(x+1)^2}$
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì
$y'≥0$
$↔ x^2+2x-m+1≥0$
$→ 1+m-1≤0$
$↔ m≤0$
Vậy $m≤0$ là giá trị cần tìm.
