Giải thích các bước giải:
Bài 3:
a.Xét $\Delta AHB, \Delta AHC$ có:
Chung $AH$
$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}$
$AB=AC$
$\to\Delta AHB=\Delta AHC$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
b.Xét $\Delta AMN, \Delta CND$ có:
$NA=NC$ vì $N$ là trung điểm $AC$
$\widehat{ANM}=\widehat{DNC}$(đối đỉnh)
$NM=ND$
$\to \Delta AMN=\Delta CND(c.g.c)$
$\to \widehat{NMA}=\widehat{NDC}$
$\to AM=CD, AM//CD$
$\to CD//AB$
c.Vì $M$ là trung điểm $AB\to MA=MB$
Mà $AM=CD\to CD=BM$
Xét $\Delta MDC, \Delta BCM$ có:
chung $MC$
$\widehat{BMC}=\widehat{MCD}$ vì $CD//AB$
$BM=CD$
$\to\Delta MCD=\Delta CMB(c.g.c)$
$\to MD=BC$
$\to 2MN=BC$
$\to MN=\dfrac12BC$
d.Goi $CM\cap BD=E$
Xét $\Delta MEB,\Delta CED$ có:
$\widehat{EMB}=\widehat{ECD}$ vì $BM//CD$
$BM=CD$
$\widehat{EBM}=\widehat{EDC}$
$\to \Delta BME=\Delta DCE(g.c.g)$
$\to EM=EC, EB=ED$
$\to E$ là trung điểm $BD, CM$
Từ câu a $\to HB=HC\to H$ là trung điểm $BC$
Mà $CM\cap DH=I\to CE\cap DH=I$
$\to I$ là trọng tâm $\Delta BCD$
Do $K$ là trung điểm $CD\to B, I, K$ thẳng hàng
Bài 4:
Ta có:
$a<a+b+c$ vì $a, b, c, d\in N^*$
$\to \dfrac{a}{a+b+c}<1$
$\to \dfrac{a}{a+b+c}<\dfrac{a+d}{a+b+c+d}(1)$
Tương tự $\dfrac{b}{a+b+d}<\dfrac{b+c}{a+b+c+d}(2)$
$\dfrac{c}{b+c+d}<\dfrac{a+c}{a+b+c+d}(3)$
$\dfrac{d}{a+c+d}<\dfrac{d+b}{a+b+c+d}(4)$
Cộng vế với vế của $(1), (2), (3), (4)$
$\to M<2$
$\to M^{10}<2^{10}=1024<2021$
$\to đpcm$
