Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Câu 4:
a. Do \(SA=SB=SC=SD\) và đáy là hình vuông ABCD nên \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \perp (ABCD)\)
b. Ta có: $\begin{cases}AC \perp BD \\AC \perp SO\end{cases}$
\(\Rightarrow AC \perp (SBD)\)
Mà \(AC \epsilon (SAC)\)
Nên \((SAC) \perp (SBD)\)
c. Tính \(d(O;(SCD))\)
Từ O kẻ \( OM \perp CD\) (M là trung điểm CD; Do \(\Delta OCD\) cân nên OM là đường cao đồng thời là trung tuyến)
Ta có: $\begin{cases}CD \perp SO \\CD \perp OM\end{cases}$
\(\Rightarrow CD \perp (SOM)\)
Kẻ \(OF \perp SM\)
Ta có: $\begin{cases}OF \perp SM \\OF \perp CD\end{cases}$
\(\Rightarrow OF \perp (SCD)\)
Vậy \(OF=d(O;(SCD))\)
Ta có: \(OM=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(BO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}.\sqrt{2a^{2}+2a^{2}}=a\)
Áp dụng định lí Py-ta-go vào \(\Delta SOB\) vuông tại O:
\(SO=\sqrt{3a^{2}-a^{2}}=\sqrt{2}a\)
Ta có: \(\dfrac{1}{OF^{2}}=\dfrac{1}{SO^{2}}+\dfrac{1}{OM^{2}}\)
\(\Leftrightarrow OF=\dfrac{\sqrt{10}}{5}\)
Do \(AC \bigcap (SCD)=C\)
Nên \(\dfrac{AC}{OC}=\dfrac{d(A;(SAC))}{d(O;(SCD))}\)
\(\Leftrightarrow 2=\dfrac{d(A;(SAC))}{\dfrac{\sqrt{10}}{5}}\)
\(\Leftrightarrow d(A;(SCD))=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}\)
