$a)$ Ta có : $P = I^2.R =(\dfrac{\xi}{R+r})^2.R$

$\Rightarrow 4=\dfrac{6^2}{R^2+4R+4}.R$

$\Rightarrow R^2 - 5R +4=0$

$\Leftrightarrow R=4 \Omega \text{hoặc} R= 1 \Omega$ 

$b)$ Ta có : $P = I^2.R = (\dfrac{\xi}{R+r})^2.R = \dfrac{\xi^2}{R+2r+\frac{r^2}{R}}$

Vì suất điện động và r không đổi : 

$P=P_{max} \Leftrightarrow (R+\dfrac{r^2}{R}) \text{min}$ 

Theo BĐT Cô si :

$R + \dfrac{r^2}{R}$ `>=` $2\sqrt{R. \dfrac{r^2}{R}}$

$\Rightarrow R + \dfrac{r^2}{R}$ `>=` $2r$

Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow R=\dfrac{r^2}{R}$

$\Leftrightarrow R=r=2 \Omega$ 

Khi đó : $P_{max} = \dfrac{\xi^2}{4R} =  4,5 W$

Đáp án:

\(\begin{array}{l}
a.\\
R = 1\Omega \\
R = 4\Omega \\
b.\\
R = r = 2\Omega \\
{P_{\max }} = 4,5W
\end{array}\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
a.\\
P = R{I^2} = R\dfrac{{{E^2}}}{{{{(R + r)}^2}}} = \dfrac{{{E^2}}}{{\frac{{{{(R + r)}^2}}}{R}}} = \dfrac{{{E^2}}}{{{{(\sqrt R  + \dfrac{r}{{\sqrt R }})}^2}}}\\
 \Rightarrow 4 = \dfrac{{{6^2}}}{{{{(\sqrt R  + \dfrac{2}{{\sqrt R }})}^2}}}\\
 \Rightarrow 4{(\sqrt R  + \dfrac{2}{{\sqrt R }})^2} = 36\\
 \Rightarrow \sqrt R  + \dfrac{2}{{\sqrt R }} = 3\\
 \Rightarrow R - 3\sqrt R  + 2 = 0\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt R  = 1\\
\sqrt R  = 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
R = 1\Omega \\
R = 4\Omega 
\end{array} \right.\\
b.\\
P = \dfrac{{{E^2}}}{{{{(\sqrt R  + \dfrac{r}{{\sqrt R }})}^2}}}\\
{P_{\max }} \Rightarrow \sqrt R  + \dfrac{r}{{\sqrt R }}
\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức cô si:

\(\sqrt R  + \dfrac{r}{{\sqrt R }} \ge 2\sqrt {\sqrt R .\dfrac{r}{{\sqrt R }}}  = 2\sqrt r \)

Dấu " = " xảy ra khi:

\(\begin{array}{l}
\sqrt R  = \dfrac{r}{{\sqrt R }} \Rightarrow R = r = 2\Omega \\
{P_{\max }} = \dfrac{{{E^2}}}{{{{(2\sqrt r )}^2}}} = \dfrac{{{E^2}}}{{4r}} = \dfrac{{{6^2}}}{{4.2}} = 4,5W
\end{array}\)