Đáp án:
c) GTNN của P = - (5 + 2√7)/3 khi x/y = 13 - 4√7
d) P = √P = 0 khi y = 0; x # 0
Giải thích các bước giải:
Nhận xét : để P tồn tại thì x, y ≥ 0; x # y
c) P = - (2y + √(xy)/[x - √(xy) + y] ≤ 0
@ Nếu y = 0; x # 0 ⇒ P = 0 (1)
@ Nếu x = 0; y # 0 ⇒ P = - 2 (2)
@ Nếu x, y # 0 chia tử và mẫu của P cho y và đặt t = √(x/y) > 0 ta có:
P = - [2 + √(x/y)]/[(x/y) - √(x/y) + 1] = - (t + 2)/(t² - t + 1) < 0
⇔ Pt² - Pt + P = - t - 2
⇔ Pt² - (P - 1)t + P + 2 = 0 (*)
Coi (*) là phương trình bậc 2 ẩn số t , P là tham số. Để (*) có nghiệm thì
Δ = (P - 1)² - 4P(P + 2) = - 3P² - 10P + 1 ≥ 0 ⇔ 9P² + 30P - 3 ≤ 0
⇔ (3P + 5 + 2√7)(3P + 5 - 2√7) ≤ 0
⇔ 3P + 5 + 2√7 ≥ 0 ( vì P < 0 và 5 - 2√7 < 0 ⇒ P + 5 - 2√7 < 0)
⇔ P ≥ - (5 + 2√7)/3 (3)
So sánh (1); (2) và (3) ⇒ GTNN của P = - (5 + 2√7)/3
Xảy ra khi (*) có nghiệm kép t = - b/2a = (P - 1)/2P = [ - (5 + 2√7)/3 -1]/2[ - (5 + 2√7)/3]
= (4 + √7)/(5 + 2√7) = √7 - 2 ⇔ √(x/y) = √7 - 2 ⇔ x/y = 13 - 4√7
d) Do P ≤ 0 nên √P chỉ tồn tại khi y = 0 ⇒ P = 0
⇒ P = √P = 0 khi y = 0; x # 0
