\(\begin{array}{l} \quad A =\left(\matrix{-3&-2m-2&2-2m\\ 2&2m+1&2m-2\\ -2&-m-1&2-m}\right)\\ a)\quad \text{Chéo hóa ma trận}\\ \text{Phương trình đặc trưng}\ P(\lambda) = 0\\ \Leftrightarrow \left|\matrix{-3-\lambda&-2m-2&2-2m\\ 2&2m+1-\lambda&2m-2\\ -2&-m-1&2-m - \lambda}\right| = 0\\ \Leftrightarrow -\lambda^3 + m\lambda^2 + \lambda - m =0\\ \Leftrightarrow (\lambda - 1)(\lambda + 1)(\lambda - m) = 0\\ +)\quad \text{Với $\lambda =- 1$ ta được hệ phương trình riêng}\\ \left(\matrix{-2&-2m-2&2-2m\\ 2&2m+2&2m-2\\ -2&-m-1&3-m}\right)\left(\matrix{x\\y\\z}\right) = \left(\matrix{0\\0\\0}\right)\\ \text{Giải hệ ta được:}\ VTR\ \ \overrightarrow{u_1} = (2;-1;1)\\ +)\quad \text{Với $\lambda = 1$ ta được hệ phương trình riêng}\\ \left(\matrix{-4&-2m-2&2-2m\\ 2&2m&2m-2\\ -2&-m-1&1-m}\right)\left(\matrix{x\\y\\z}\right) = \left(\matrix{0\\0\\0}\right)\\ \text{Giải hệ ta được:}\ VTR\ \ \overrightarrow{u_2} = (1;-1;1)\\ +)\quad \text{Với $\lambda = m$ ta được hệ phương trình riêng}\\ \left(\matrix{-3-m&-2m-2&2-2m\\ 2&m+1&2m-2\\ -2&-m-1&2-2m}\right)\left(\matrix{x\\y\\z}\right) = \left(\matrix{0\\0\\0}\right)\\ \text{Giải hệ ta được:}\ VTR\ \ \overrightarrow{u_3} = (2;-2;1)\\ \text{Ma trận các VTR:}\\ \qquad T = \left(\matrix{2&1&2\\ -1&-1&-2\\1&1&1}\right)\\ \Rightarrow T^{-1} = \left(\matrix{1&1&0\\ -1&0&2\\0&-1&-1}\right)\\ \text{Ma trận chéo hóa của ma trận $A$}\\ \quad B = \left(\matrix{-1&0&0\\0&1&0\\0&0&m}\right)\\ \text{Ta được:}\\ A = \left(\matrix{2&1&2\\ -1&-1&-2\\1&1&1}\right)\left(\matrix{-1&0&0\\0&1&0\\0&0&m}\right)\left(\matrix{1&1&0\\ -1&0&2\\0&-1&-1}\right)\\ b)\\ \quad A^{10} = T.B^{10}.T^{-1}\\ \Leftrightarrow A^{10} = \left(\matrix{2&1&2\\ -1&-1&-2\\1&1&1}\right)\left(\matrix{1&0&0\\0&1&0\\0&0&m^{10}}\right)\left(\matrix{1&1&0\\ -1&0&2\\0&-1&-1}\right)\\ \Leftrightarrow A^{10} = \left(\matrix{2&1&2m^{10}\\ -1&-1&-2m^{10}\\1&1&m^{10}}\right)\left(\matrix{1&1&0\\ -1&0&2\\0&-1&-1}\right)\\ \Leftrightarrow A^{10} = \left(\matrix{1&-2m^{10} +2&-2m^{10}+2\\ 0&2m^{10}-1&m^{10}-2\\0&-m^{10}+1&-m^{10}+2}\right) \end{array}\)