+) \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {4;3} \right)\) \( \Leftrightarrow 16a + 4b + c = 3\,\,\left( 1 \right)\)
+) \(\left( P \right)\) đi qua \(N\left( {3;0} \right)\) \( \Leftrightarrow 9a + 3b + c = 0 \Rightarrow c = - 9a - 3b\) thay vào \(\left( 1 \right)\) được:
\(16a + 4b + \left( { - 9a - 3b} \right) = 3 \Leftrightarrow 7a + b = 3 \Leftrightarrow b = 3 - 7a\)
\( \Rightarrow c = - 9a - 3\left( {3 - 7a} \right) = 12a - 9\).
Gọi \(I\) là đỉnh parabol thì \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right) \Rightarrow I\left( {\frac{{7a - 3}}{{2a}};\frac{{ - {a^2} + 6a - 9}}{{4a}}} \right)\)
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên \(Ox\) thì \(H\left( {\frac{{7a - 3}}{{2a}};0} \right)\).
\(H\) là trung điểm của \(NP\), mà \({x_P} < {x_H} < {x_N} = 3\) nên \(\frac{{7a - 3}}{{2a}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{a - 3}}{{2a}} < 0 \Leftrightarrow 0 < a < 3\)
Diện tích \({S_{\Delta INP}} = 1 \Rightarrow {S_{\Delta INH}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2}IH.NH = \frac{1}{2} \Leftrightarrow IH.NH = 1\)
\( \Rightarrow \left| {\frac{{ - {a^2} + 6a - 9}}{{4a}}} \right|.\left| {3 - \frac{{7a - 3}}{{2a}}} \right| = 1\) \( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {a - 3} \right)}^2}}}{{\left| {4a} \right|}}.\frac{{\left| { - a + 3} \right|}}{{\left| {2a} \right|}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2}\left| {a - 3} \right| = 8{a^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {a - 3} \right)^2}.\left( {3 - a} \right) = 8{a^2} \Leftrightarrow {a^3} - 9{a^2} + 27a - 27 = - 8{a^2}\)
\( \Leftrightarrow {a^3} - {a^2} + 27a - 27 = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} + 27} \right) = 0 \Leftrightarrow a = 1\)
Suy ra \(b = - 4,c = 3\).
Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - 4x + 3\)
