Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABD, \Delta ACE$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}(=90^o)$

$\to\Delta ABD\sim\Delta ACE(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}$

$\to \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$

Mà $\widehat{DAE}=\widehat{BAC}$

$\to\Delta ADE\sim\Delta ABC(c.g.c)$

b.Xét $\Delta HEB,\Delta HDC$ có:

$\widehat{EHB}=\widehat{DHC}$

$\widehat{HEB}=\widehat{HDC}(=90^o)$

$\to\Delta HEB\sim\Delta HDC(g.g)$

$\to \dfrac{HE}{HD}=\dfrac{HB}{HC}$

$\to HE.HC=HB.HD$

c.Ta có $BH//CK(\perp AC, CH//BK(\perp AB)$

$\to BHCK$ là hình bình hành

Vì $M$ là trung điểm $BC\to M$ là trung điểm $HK$ 

Từ câu a $\to \widehat{AED}=\widehat{ACB}$

d.Xét $\Delta BOA, \Delta BCE$ có:

chung $\hat B$

$\widehat{BOA}=\widehat{BEC}(=90^o)$

$\to\Delta BOA\sim\Delta BEC(g.g)$
$\to \dfrac{BO}{BE}=\dfrac{BA}{BC}$

$\to BE.BA=BO.BC$

Tương tự $CD.CA=CO.CB$

$\to BE.BA+CD.CA=BO.BC+CO.CB=BC^2$

e.Ta có:

$\dfrac{HO}{AO}+\dfrac{HD}{DB}+\dfrac{HE}{CE}=\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{HAC}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{HAB}}{S_{CAB}}=\dfrac{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1$

f.Tương tự câu c chứng minh được  $\widehat{BEO}=\widehat{BCA}$

$\to \widehat{AED}=\widehat{BEO}$

$\to 90^o-\widehat{AED}=90^o-\widehat{BEO}$

$\to \widehat{DEC}=\widehat{OEC}$

$\to EH$ là phân giác $\widehat{DEO}$

Tương tự chứng minh được $DH$ là phân giác $ư\widehat{EDO}$

$\to H$ là giao các đường phân giác $\Delta ODE$

g.Xét $\Delta DPI,\Delta DCN$ có:

Chung $\hat D, \widehat{DIP}=\widehat{DCN}(=90^o)$

$\to \Delta DIP\sim\Delta DCN(g.g)$

$\to \dfrac{S_{DIP}}{S_{DCN}}=\dfrac{DI^2}{DC^2}$

Ta có $BD\perp AC, \hat C=90^o\to \Delta DBC$ vuông cân tại $D\to DB=DC$

Mà $P$ là trung điểm $DC\to PD=PC=\dfrac12CD=\dfrac12BD$

$\to PB=\sqrt{DP^2+DB^2}=\dfrac{DB\sqrt{5}}{2}$

Xét $\Delta DPI,\Delta PBD$ có:

Chung $\hat P$

$\widehat{DIP}=\widehat{BDP}$

$\to \Delta PID\sim\Delta PDB(g.g)$

$\to \dfrac{ID}{BD}=\dfrac{PD}{PB}=\dfrac1{\sqrt5}$

$\to \dfrac{ID}{DC}=\dfrac1{\sqrt5}$

$\to \dfrac{DI^2}{DC^2}=\dfrac15$

$\to \dfrac{S_{DIP}}{S_{DCN}}=\dfrac15$

$\to \dfrac{S_{DCN}-S_{DIP}}{S_{DCN}}=\dfrac{5-1}{5}$

$\to \dfrac{S_{CPIN}}{S_{DCN}}=\dfrac45$

h.Để $HBKC$ là hình thoi

$\to KH\perp BC=M\to A, H, M$ thẳng hàng

$\to \Delta ABC$ cân tại $A$

Để $BHCK$ là hình chữ nhật

$\to BK\perp CK$

Mà $AB\perp BK, CK\perp AC\to ABKC$ là hình chữ nhật

$\to \Delta ABC$ vuông tại $A$