Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Với $∀k ∈ N$ ta có:

$\frac{\sqrt[]{k + 1} - \sqrt[]{k}}{k + 1} = \frac{(k + 1) - k}{(k + 1)(\sqrt[]{k + 1} + \sqrt[]{k})} $

$ = \frac{1}{(k + 1)(\sqrt[]{k + 1} + \sqrt[]{k})} < \frac{1}{(k + 1)(\sqrt[]{k} + \sqrt[]{k})} = \frac{1}{2.(k + 1)\sqrt[]{k}}$

Do đó :

$ \frac{\sqrt[]{2} - \sqrt[]{1}}{2} < \frac{1}{2.2\sqrt[]{1}} $

$ \frac{\sqrt[]{3} - \sqrt[]{2}}{3} < \frac{1}{2.3\sqrt[]{2}} $

$ \frac{\sqrt[]{4} - \sqrt[]{3}}{4} < \frac{1}{2.4\sqrt[]{3}} $

$............................$

$\frac{\sqrt[]{n + 1} - \sqrt[]{n}}{n + 1} < \frac{1}{2.(n + 1)\sqrt[]{n}}$

Mặt khác:

$\frac{1}{(k + 1)\sqrt[]{k}} = \frac{\sqrt[]{k}}{k(k + 1)} = \frac{\sqrt[]{k}}{k} - \frac{\sqrt[]{k}}{k + 1}$

Do đó :

$\frac{1}{2\sqrt[]{1}} = \frac{\sqrt[]{1}}{1} - \frac{\sqrt[]{1}}{2} (1)$

$\frac{1}{3\sqrt[]{2}} = \frac{\sqrt[]{2}}{2} - \frac{\sqrt[]{2}}{3} (2)$

$\frac{1}{4\sqrt[]{3}} = \frac{\sqrt[]{3}}{3} - \frac{\sqrt[]{3}}{4} (3)$

$.............................$

$\frac{1}{(n + 1)\sqrt[]{n}} = \frac{\sqrt[]{n}}{n} - \frac{\sqrt[]{n}}{n + 1} (n)$

Gọi $S$ là tổng vế trái; Cộng $(1) + (2) + (3) +...+ (n)$ lại :

$ S = \frac{1}{2\sqrt[]{1}} +\frac{1}{3\sqrt[]{2}} +  \frac{1}{4\sqrt[]{3}} + ...+ \frac{1}{(n + 1)\sqrt[]{n}} $

$ = 1 + (\frac{\sqrt[]{2} - \sqrt[]{1}}{2} + \frac{\sqrt[]{3} - \sqrt[]{2}}{3} + \frac{\sqrt[]{4} - \sqrt[]{3}}{4}  +...+ \frac{\sqrt[]{n} - \sqrt[]{n - 1}}{n} + \frac{\sqrt[]{n + 1} - \sqrt[]{n}}{n + 1}) - \frac{\sqrt[]{n + 1} - \sqrt[]{n}}{n + 1} - \frac{\sqrt[]{n}}{n + 1}$

$ < 1 + \frac{1}{2}[\frac{1}{2\sqrt[]{1}} + \frac{1}{3\sqrt[]{2}} + \frac{1}{4\sqrt[]{3}} + ...+ \frac{1}{(n + 1)\sqrt[]{n}}] = 1 + \frac{1}{2}S$ 

$ ⇒ S - \frac{1}{2}S < 1 ⇔ S < 2 (đpcm)$