a)
Vì $AB<AC$
$\Rightarrow $$\begin{cases}{{S}_{\Delta ABH}}=12c{{m}^{2}}\\{S}_{\Delta ACH}=27c{{m}^{2}}\end{cases}$
$\Rightarrow\begin{cases}AH.BH=24\\AH.CH=54\end{cases}$
$\Rightarrow A{{H}^{2}}.BH.CH=1296$
$\Rightarrow A{{H}^{4}}=1296$
$\Rightarrow AH=6cm$
Có: ${{S}_{\Delta ABC}}={{S}_{\Delta ABH}}+{{S}_{\Delta ACH}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}AH.BC=12+27$
$\Leftrightarrow AH.BC=78$
$\Leftrightarrow 6.BC=78$
$\Leftrightarrow BC=13cm$
b)
Gọi $D$ là giao điểm $AI$ và $EF$
Có: $AE.AB=AF.AC\,\,\,\left( =A{{H}^{2}} \right)$
$\Rightarrow \Delta AEF\backsim\Delta ACB\left( c.g.c \right)$
$\Rightarrow \widehat{AEF}=\widehat{ACB}\,\,\,\left( 1 \right)$
$\Delta ABC$ vuông tại $A$ với $AI$ trung tuyến
$\Rightarrow IA=IB\Rightarrow \Delta IAB$ cân tại $I\Rightarrow \widehat{IAB}=\widehat{IBA}\,\,\,\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$$\Rightarrow \Delta ADE\backsim\Delta BAC\left( g.g \right)$
$\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $
$\Rightarrow AI\bot EF$ tại $D$
c)
Tứ giác $AEHF$ có $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{EAF}=90{}^\circ $
$\Rightarrow AEHF$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow O$ là trung điểm $AH$
$\Delta AHM$ có $O$ là trung điểm $AH$ ; $OB//AM$
$\Rightarrow B$ là trung điểm của $MH$
d)
Từ $A$ vẽ đường thẳng $//CO$ cắt $BC$ tại $G$
Tương tự câu c), $C$ là trung điểm của $HG$
Trong $\Delta ACM$ có $NB//AM$
$\Rightarrow \dfrac{AN}{NC}=\dfrac{MB}{BC}=\dfrac{HB}{BC}$
Trong $\Delta ABG$ có $PC//AG$
$\Rightarrow \dfrac{AP}{PB}=\dfrac{GC}{BC}=\dfrac{HC}{BC}$
$\Rightarrow \dfrac{AN}{NC}+\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{HB}{BC}+\dfrac{HC}{BC}=\dfrac{BC}{BC}=1$
