Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Góc AKB là góc nội tiếp đường tròn (O) nên AKBˆ=90oAKB^=90o

Mặt khác, BCHˆ=90oBCH^=90o (do AB⊥MNAB⊥MN tại C)

Tứ giác BCHK có 2 góc đối AKBˆAKB^ và BCHˆBCH^ có tổng số đo góc là 180^o nên tứ giác BCHK nội tiếp (điều phải chứng minh).

b) AB=2R⇒OA=OB=12AB=RAB=2R⇒OA=OB=12AB=R

C là trung điểm OA ⇒AC=OA2=R2⇒AC=OA2=R2

Xét ΔAHCΔAHC và ΔABKΔABK, có:

ACHˆ=AKBˆ=90o (chứng minh trên)

Chung góc A

⇒ΔAHC⇒ΔAHC đồng dạng với ΔABKΔABK (g.g)

⇒ACAK=AHAB⇒ACAK=AHAB (cặp tỉ lệ cạnh tương ứng)

⇒AH.AK=AC.AB=R2.2R=R2⇒AH.AK=AC.AB=R2.2R=R2 (điều phải chứng minh)

c)Xét ΔMCAΔMCAvà ΔMCOΔMCO, có:

Chung cạnh MC

CA = CO (giả thiết)

MCAˆ=MCOˆ=90oMCA^=MCO^=90o (giả thiết)

⇒ΔMCA=ΔMCO⇒ΔMCA=ΔMCO (2 cạnh góc vuông)

⇒MA=MO⇒MA=MO (2 cạnh tương ứng)

Mà MO = OA = R

⇒MA=MO=OA⇒MA=MO=OA

⇒ΔAMO⇒ΔAMO đều

⇒MABˆ=60o⇒MAB^=60o

Dễ dàng chứng minh được tứ giác ABKM nội tiếp nên MKEˆ=MABˆ=60oMKE^=MAB^=60o

Mà MK = ME

⇒ΔMKE⇒ΔMKE đều

⇒ME=MK⇒ME=MK(1)

Ta có: CMBˆ=MABˆ=60oCMB^=MAB^=60o (cùng phụ với góc AMC)

⇒NMKˆ=BMEˆ⇒NMK^=BME^(2)

CMBˆ=60oCMB^=60o ⇒MB=2MC⇒MB=2MC

Mà MN = 2MC (đường kính AB vuông góc với dây MN nên CM = CN)

⇒MN=MB(3)⇒MN=MB(3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ΔNMK=ΔBME⇒ΔNMK=ΔBME(c.g.c)

⇒NK=BE⇒NK=BE (2 cạnh tương ứng)

⇒NI+IK=BK+KI⇒NI+IK=BK+KI

⇒NI=BK⇒NI=BK (điều phải chứng minh)

Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB$ là đường kính của (O)

$\to AK\perp BK$

Mà $MN\perp AB\to \widehat{ACH}=\widehat{HKB}=90^o$

$\to \Diamond BCHK$ nội tiếp

b.Từ câu a ta có:

$\widehat{ACH}=\widehat{HBK}=\widehat{AKB}$

Mà $\widehat{HAC}=\widehat{KAB}$

$\to\Delta  ACH\sim\Delta AKB(g.g)$

$\to\dfrac{AC}{AK}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AH.AK=AB.AC=\dfrac12AO\cdot\dfrac2AO=AO^2=R^2$

c.Vì $C$ là trung điểm $AO, MN\perp AO=C$

$\to MN$ là trung trực của $AO$

$\to MA=MO$

Mà $OA=OM\to MA=MO=AO=R\to\Delta AMO$ đều

$\to\widehat{MIK}=60^o\to\widehat{MIN}=180^o-60^o=120^o$

Do $AB\perp MN=C\to A$ nằm chính giữa cung $MN, AB$ là trung trực của $MN$

$\to\widehat{MON}=2\widehat{MOA}=120^o$

$\to\widehat{MKI}=\widehat{MKN}=\dfrac12\widehat{MON}=60^o$

Do $KM=KI\to \Delta KMI$ đều

$\to MI=MK$

Do $AB$ là trung trực của $MN$

$\to BM=BN$

Kết hợp $\widehat{MBN}=\dfrac12\widehat{MON}=60^o$

$\to\Delta BMN$ đều

$\to BM=MN,\widehat{NMB}=\widehat{IMK}=60^o$

$\to \widehat{NMB}-\widehat{IMB}=\widehat{IMK}-\widehat{IMB}$

$\to\widehat{NMI}=\widehat{BMK}$

$\to\Delta MKB=\Delta MIN(c.g.c)$

$\to KB=NI$