Ta có
$$y' = 4x^3 -4(m^2-m+1)x$$
Khi đó, ta xét ptrinh $y' = 0$
$$4x^3 - 4(m^2-m+1)x = 0$$
$$<-> 4x(x^2 - m^2 + m-1) = 0$$
Điều này tương đương vs $x = 0$ hoặc
$$x^2 = m^2 - m + 1(1)$$
Để hso có 3 điểm cực trị thì ptrinh $y' = 0$ phải có 3 nghiệm phân biệt, do đó (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Điều này tương đương vs
$$\begin{cases}
m^2 -m + 1 >0\\
m^2 -m + 1 \neq 0
\end{cases}$$
Lại có
$$m^2 -m + 1 = (m-\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4}$$
Do đó, hso luôn có 3 cực trị với mọi $m$. Khi đó, ta có hoành độ của 3 điểm cực trị là
$$x_1 = 0, x_2 = \sqrt{m^2 -m + 1}, x_3 = -\sqrt{m^2 -m + 1}$$
Khi đó, 2 điểm cực tiểu có hoành độ là $x_2$ và $x_3$. Khoảng cách giữa 2 điểm đó là
$$d = 2\sqrt{m^2 -m + 1}$$
Ta lại có
$$m^2 -m + 1 = (m-\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4} \geq \dfrac{3}{4}$$
Do đó
$$d \geq 2.\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$
Dấu "=" đạt được khi $m = \dfrac{1}{2}$.
Vậy đáp án là D.
