Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {MAC} = \widehat {MDA}\left( {\text{tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung}} \right)\\
\widehat Mchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta MAC \sim \Delta MDA\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MC}}{{MA}}\\
 \Rightarrow M{A^2} = MC.MD
\end{array}$

b) Ta có:

$MA$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $I$ là trung điểm của dây cung $CD$

$ \Rightarrow \widehat {MAO} = \widehat {MIO} = {90^0}$

$\to $ Tứ giác $MAIO$ nội tiếp $(1)$

Lại có: 

$\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

$\to $ Tứ giác $MAOB$ nội tiếp $(2)$

Như vậy: Từ $(1),(2)\to$ Năm điểm $A,M,I,O,B$ cùng thuộc một đường tròn.

c) Ta có:

$MA,MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $M$ với hai tiếp điểm là $A,B$

$\to MA=MB$ 

Mà $OA=OB\to OM$ là trung trực của $AB$

$\to OM\bot AB=H$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\Delta MAO;\widehat A = {90^0};AH \bot MO = H\\
 \Rightarrow M{A^2} = MH.MO\\
 \Rightarrow MH.MO = MC.MD\left( { = M{A^2}} \right)
\end{array}$

d) Ta có:

$\begin{array}{l}
MH.MO = MC.MD\left( { = M{A^2}} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{MC}}{{MO}} = \dfrac{{MH}}{{MD}}
\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat Mchung\\
\dfrac{{MC}}{{MO}} = \dfrac{{MH}}{{MD}}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta MCH \sim \Delta MOD\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {MCH} = \widehat {MOD}
\end{array}$

$\to $ Tứ giác $CHOD$ nội tiếp,

e) Ta có:

Tứ giác $CHOD$ nội tiếp,

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {DHO} = \widehat {DCO}\\
 \Rightarrow \widehat {DHO} = \widehat {ODC}\left( {do:\widehat {DCO} = \widehat {ODC}} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {DHO} = \widehat {CHM}\left( {do:\widehat {ODC} = \widehat {CHM}} \right)\\
 \Rightarrow {90^0} - \widehat {DHO} = {90^0} - \widehat {CHM}\\
 \Rightarrow \widehat {AHD} = \widehat {AHC}
\end{array}$

$\to HA$ là phân giác của $\widehat{CHD}$