a) Ta có
$A = 1 + \left( \dfrac{2x + \sqrt{x} - 1}{(1-\sqrt{x})(1 + \sqrt{x})} - \dfrac{2x \sqrt{x} - \sqrt{x} + x}{(1-\sqrt{x})(x + \sqrt{x} + 1)} \right) . \dfrac{x- \sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 1}$
$= 1 + \left( \dfrac{ (2x + \sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1) - (2x \sqrt{x} - \sqrt{x} + x)((1 + \sqrt{x})}{(1 - \sqrt{x})(x + \sqrt{x} + 1)(1 + \sqrt{x})} \right . \dfrac{x- \sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 1}$
$= 1 + \dfrac{2x + \sqrt{x} + 1}{(1 - \sqrt{x})(x + \sqrt{x} + 1)(1 + \sqrt{x})} . \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{2\sqrt{x} - 1}$
$= 1 + \dfrac{(2\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(1 - \sqrt{x})(x + \sqrt{x} + 1)(1 + \sqrt{x})} . \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{2\sqrt{x} - 1}$
$= 1 - \dfrac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1}$
$= \dfrac{x + 1}{x + \sqrt{x} + 1}$
Để $A = \dfrac{6-\sqrt{6}}{5}$ thì
$\dfrac{x + 1}{x + \sqrt{x} + 1} = \dfrac{6-\sqrt{6}}{5}$
$<-> 5x + 5 = (6 - \sqrt{6}) (x + \sqrt{x} + 1)$
$<-> x(1 - \sqrt{6}) + \sqrt{x} (6 - \sqrt{6}) + 1 - \sqrt{6} = 0$
Đặt $t = \sqrt{x}$, $t \geq 0$, $t \neq \dfrac{1}{4}$. KHi đó
$t^2 (1 - \sqrt{6}) + t(6 - \sqrt{6}) + 1 - \sqrt{6} = 0$
Giải ra ta có
$t = \dfrac{\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{2}$.
Cả 2 nghiệm đều lớn hơn 0. DO đó
$x = \sqrt{\dfrac{\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{2}}$.
b) Ta xét
$A - \dfrac{2}{3} = \dfrac{x + 1}{x + \sqrt{x} + 1} - \dfrac{2}{3}$
$= \dfrac{x - 2\sqrt{x} + 1}{3(x + \sqrt{x} + 1)}$
$= \dfrac{(\sqrt{x} - 1)^2}{3(x + \sqrt{x} + 1)}$
Ta có $(\sqrt{x} - 1)^2 > 0$ với mọi $x \neq 1$ và $x + \sqrt{x} + 1 > 0$ với mọi $x \geq 0$.
Vậy $\dfrac{(\sqrt{x} - 1)^2}{3(x + \sqrt{x} + 1)}$ > 0 với mọi x hay
$A - \dfrac{2}{3} > 0$ với mọi $x$.
$<-> A > \dfrac{2}{3}$ với mọi x.
