a,
$\Delta ABC$ đều nên $BC\bot AI$
Có $SA\bot(ABC)\to BC\bot SA$
Suy ra $BC\bot (SAI)$
Vậy $(SBC)\bot(SAI)$
b,
Kẻ $AH\bot SI$
$BC\bot (SAI)\to BC\bot AH$
Suy ra $AH\bot (SBC)$
$\to d(A,(SBC))=AH$
$AI=\dfrac{AB\sqrt3}{2}=a\sqrt3$
$\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AI^2}=\dfrac{1}{AH^2}$
$\to AH=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$
Vậy $d(A,(SBC))=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$
c,
Gọi $K$ là trung điểm $AC$
$\to BK\bot AC$
Mà $SA\bot BK$ nên $BK\bot (SAC)$
$\to (SB,(SAC))=(SB,SK)$
$SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt6$
$BK=a\sqrt3$
$\to \sin\widehat{BSK}=\dfrac{BK}{SB}=\dfrac{\sqrt2}{2}$
$\to \widehat{BSK}=45^o$
Vậy $(SB,(SAC))=45^o$
d,
Gọi $D$ là điểm thuộc $(ABC)$ sao cho $ACBD$ là hình thoi tạo bởi hai tam giác đều: $\Delta ABC, \Delta ABD$
$AC//BD\to d(AC,SB)=d(AC,(SBD))=d(A,(SBD))$
Gọi $M$ là trung điểm $BD$, kẻ $AN\bot SM$
$\to d(A,(SBD))=AN$
$\Delta SAM=\Delta SAI$ (c.g.c) nên $AN=AH=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$
Vậy $d(AC,SB)=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$
