Đáp án:
a) $ \widehat{((SBC);(ABC))}=30^\circ$
b) $AH =\dfrac{a\sqrt5}{5}$
Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$SA\perp (ABC)\quad (gt)$
$\to \begin{cases}SA\perp AB\\SA\perp AC\end{cases}$
$\to \widehat{SAB}=\widehat{SAC}=90^\circ$
Xét $∆SAB$ và $∆SAC$ có:
$\begin{cases}SA:\, \text{cạnh chung}\\\widehat{SAB}=\widehat{SAC}=90^\circ\quad (cmt)\\AB = AC\quad (∆ABC\, đều)\end{cases}$
Do đó $∆SAB=∆SAC\, (c.g.c)$
$\to SB = SC$
$\to ∆SBC$ cân tại $S$
Gọi $M$ là trung điểm $BC$
$\to SM\perp BC$
Ta lại có: $∆ABC$ đều
$\to \begin{cases}AM\perp BC\\AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}\end{cases}$
Khi đó:
$\begin{cases}(SBC)\cap (ABC)=BC\\SM\perp BC;\, SM\subset (SBC)\\AM\perp BC;\, AM\subset (ABC)\end{cases}$
$\to \widehat{((SBC);(ABC))}=\widehat{SMA}$
Xét $∆SMA$ vuông tại $A$ có:
$\tan\widehat{SMA}=\dfrac{SA}{AM} =\dfrac{\dfrac a2}{\dfrac{a\sqrt3}{2}}$
$\to \tan\widehat{SMA}=\dfrac{1}{\sqrt3}$
$\to \widehat{SMA}=30^\circ$
Hay $\widehat{((SBC);(ABC))}=30^\circ$
b) Áp dụng hệ thức lượng vào $∆SAB$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:
$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2} +\dfrac{1}{AB^2}$
$\to AH=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2 + AB^2}}$
$\to AH =\dfrac{\dfrac a2 \cdot a}{\sqrt{\dfrac{a^2}{4} + a^2}}$
$\to AH = \dfrac{a\sqrt5}{5}$
